Fixarea și consolidarea cunoștințelor

📄 Versiune PDF

CAPITOLUL I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE. PUTERI ȘI RADICALI

Aplicații rezolvate și explicate pas cu pas

Acest ghid este conceput ca model metodologic integrat pentru elevi. Fiecare secțiune conține mai întâi Aplicații model rezolvate cu explicații detaliate pas cu pas, urmate de un set dedicat de Exerciții de fixare și temă destinate consolidării și muncii independente.

1. Introducerea factorilor sub radical

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se introducă factorii sub radical: a) $2\sqrt[3]{3}$; b) $-3\sqrt{5}$; c) $x\sqrt[3]{x^2}$.
- a) $2\sqrt[3]{3}$: Ordinul radicalului este $n = 3$ (impar). Factorul 2 intră sub radical ridicat la puterea a 3-a:
  $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}.$
- b) $-3\sqrt{5}$: Ordinul este $n = 2$ (par). Semnul minus rămâne în exteriorul radicalului, iar factorul 3 se ridică la pătrat:
  $-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}.$
- c) $x\sqrt[3]{x^2}$: Deoarece ordinul este 3 (impar), factorul $x \in \mathbb{R}$ intră sub radical la puterea a 3-a fără restricții de semn:
  $x\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x^2} = \sqrt[3]{x^{3+2}} = \sqrt[3]{x^5}.$
Să se introducă factorii sub radical în cazurile: a) $x\sqrt{y}$ pentru $x < 0 < y$; b) $x\sqrt[3]{y}$ pentru $x < 0$.
- a) Pentru $x < 0$ și radical de ordin par ($n = 2$), scriem factorul ca $x = -|x| = -(-x)$. Introducem valoarea pozitivă $-x > 0$ sub radical:
  $x\sqrt{y} = -(-x)\sqrt{y} = -\sqrt{(-x)^2 \cdot y} = -\sqrt{x^2 y}.$
- b) Pentru $x < 0$ și radical de ordin impar ($n = 3$), factorul negativ intră direct sub radical păstrându-și semnul:
  $x\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x^3 \cdot y} = \sqrt[3]{x^3 y}.$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 1)

T1.1. Introduceți factorii sub radical: a) $4\sqrt[3]{2}$; b) $\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$; c) $-5\sqrt{3}$; d) $-2\sqrt[4]{3}$.

T1.2. Introduceți factorii algebrici sub radical: a) $a^2\sqrt[3]{a}$; b) $xy^2\sqrt{x}$ ($x > 0$); c) $a\sqrt{-a}$ ($a < 0$).

T1.3. Arătați că dacă $x < 0$, atunci $x^3\sqrt{y} = -\sqrt{x^6 y}$ pentru orice $y > 0$.

2. Scoaterea factorilor de sub radical

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se scoată factorii de sub radical: a) $\sqrt[3]{5^5}$; b) $\sqrt[4]{(-2)^6}$; c) $\sqrt{1728}$.
- a) $\sqrt[3]{5^5}$: Descompunem exponentul ca $5^5 = 5^3 \cdot 5^2$. Scoatem factorul $5^3$ de sub radicalul de ordinul 3:
  $\sqrt[3]{5^5} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5^2} = 5\sqrt[3]{5^2} = 5\sqrt[3]{25}.$
- b) $\sqrt[4]{(-2)^6}$: Regula generală pentru radical de ordin par este $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Astfel:
  $\sqrt[4]{(-2)^6} = \sqrt[4]{(-2)^4 \cdot (-2)^2} = |-2| \cdot \sqrt[4]{4} = 2\sqrt[4]{2^2} = 2\sqrt{2}.$
- c) $\sqrt{1728}$: Descompunem în factori primi $1728 = 2^6 \cdot 3^3 = (2^3)^2 \cdot 3^2 \cdot 3$:
  $\sqrt{1728} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 3^2 \cdot 3} = 2^3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}.$
Să se scoată factorii de sub radical din $\sqrt{x^2 y}$ pentru: a) $x > 0, y > 0$; b) $x < 0, y > 0$.
- Aplicăm proprietatea de bază $\sqrt{x^2} = |x|$, obținând $\sqrt{x^2 y} = |x|\sqrt{y}$.
- a) Dacă $x > 0$, avem $|x| = x$, deci $\sqrt{x^2 y} = x\sqrt{y}$.
- b) Dacă $x < 0$, avem $|x| = -x$, deci $\sqrt{x^2 y} = -x\sqrt{y}$.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 2)

T2.1. Scoateți factorii de sub radical: a) $\sqrt{108}$; b) $\sqrt[3]{-686}$; c) $\sqrt[4]{3^5 \cdot 2^7}$; d) $\sqrt[5]{-96}$.

T2.2. Scoateți factorii algebrici de sub radical (specificând semnul factorilor ieșiți): a) $\sqrt{49x^3 y^2}$ pentru $x > 0, y < 0$; b) $\sqrt[4]{x^4 y^5}$ pentru $x < 0, y > 0$.

T2.3. Simplificați expresia $E(a) = \sqrt{a^2 - 6a + 9}$ pentru: a) $a \geq 3$; b) $a < 3$.

3. Aducerea la același ordin și ordonarea radicalilor

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se aducă la același ordin radicalii: $\sqrt{2}$ și $\sqrt[3]{3}$.
- Ordinele inițiale sunt $n_1 = 2$ și $n_2 = 3$. Cel mai mic multiplicator comun este $\text{cmmmc}(2,3) = 6$.
- Amplificăm ordinele și exponenții subradicalilor:
  $\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}, \qquad \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}.$
Să se ordoneze crescător numerele: $a = 5\sqrt{2}$, $b = 3\sqrt{3}$ și $c = \sqrt{48}$.
- Introducem toți factorii sub radicalii de ordinul 2:
  $a = 5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{50}, \quad b = 3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{27}, \quad c = \sqrt{48}.$
- Cum $27 < 48 < 50$, rezultă $\sqrt{27} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$, adică $b < c < a$.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 3)

T3.1. Aduceți la același ordin radicalii: a) $\sqrt[3]{5}$ și $\sqrt[4]{3}$; b) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ și $\sqrt[6]{10}$.

T3.2. Ordonați crescător numerele: $x = 2\sqrt[3]{5}$, $y = 3\sqrt[3]{2}$ și $z = \sqrt[3]{40}$.

T3.3. Comparați numerele $a = \sqrt[3]{7}$ și $b = \sqrt{3}$.

4. Tehnici de comparare și inegalități fără extragerea rădăcinii

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Fără a extrage rădăcina pătrată, să se arate că: $2\sqrt{2} + \sqrt{10} > 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$.
- Ambele numere fiind pozitive, ridicăm la pătrat ambii mebrii ai relației:
  $(2\sqrt{2} + \sqrt{10})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{10}) + (\sqrt{10})^2 = 8 + 4\sqrt{20} + 10 = 18 + 8\sqrt{5}.$
  
  $(2\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 12 + 4\sqrt{18} + 6 = 18 + 12\sqrt{2}.$
- Comparăm termenii iraționali rămași prin introducerea sub radical:
  $8\sqrt{5} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{320}, \qquad 12\sqrt{2} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{288}.$
- Cum $320 > 288 \implies \sqrt{320} > \sqrt{288}$, inegalitatea inițială este complet demonstrată.
Să se arate că are loc relația: $\sqrt{21} - \sqrt{17} > \sqrt{23} - \sqrt{19}$.
- Amplificăm fiecare diferență cu expresia ei conjugată:
  $\sqrt{21} - \sqrt{17} = \dfrac{(\sqrt{21} - \sqrt{17})(\sqrt{21} + \sqrt{17})}{\sqrt{21} + \sqrt{17}} = \dfrac{21 - 17}{\sqrt{21} + \sqrt{17}} = \dfrac{4}{\sqrt{21} + \sqrt{17}}.$
  
  $\sqrt{23} - \sqrt{19} = \dfrac{(\sqrt{23} - \sqrt{19})(\sqrt{23} + \sqrt{19})}{\sqrt{23} + \sqrt{19}} = \dfrac{23 - 19}{\sqrt{23} + \sqrt{19}} = \dfrac{4}{\sqrt{23} + \sqrt{19}}.$
- Deoarece $21 < 23$ și $17 < 19$, avem $\sqrt{21} + \sqrt{17} < \sqrt{23} + \sqrt{19}$.
- Fracțiile având același numărător pozitiv (4), cea cu numitorul mai mic este mai mare, deci relația are loc.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 4)

T4.1. Fără a extrage rădăcinile, comparați numerele: a) $x = \sqrt{7} + \sqrt{10}$ și $y = \sqrt{5} + \sqrt{12}$; b) $a = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$ și $b = \sqrt{17} - \sqrt{11}$.

T4.2. Demonstrați inegalitatea $\sqrt{15} - \sqrt{14} < \sqrt{13} - \sqrt{12}$.

T4.3. Comparați numerele $A = \dfrac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ și $B = \dfrac{6}{3 - \sqrt{3}}$.

5. Încadrarea între întregi și partea întreagă

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se determine partea întreagă a numerelor: a) $\sqrt{2009}$; b) $\sqrt[3]{2009}$; c) $-\sqrt[3]{2009}$.
- a) Încadram 2009 între două pătrate perfecte consecutive: $44^2 = 1936$ și $45^2 = 2025$.
  $1936 < 2009 < 2025 \implies 44 < \sqrt{2009} < 45 \implies [\sqrt{2009}] = 44.$
- b) Încadram 2009 între două cuburi perfecte consecutive: $12^3 = 1728$ și $13^3 = 2197$.
  $1728 < 2009 < 2197 \implies 12 < \sqrt[3]{2009} < 13 \implies [\sqrt[3]{2009}] = 12.$
- c) Din $12 < \sqrt[3]{2009} < 13$, prin înmulțire cu $-1$ obținem $-13 < -\sqrt[3]{2009} < -12$.
  $[-\sqrt[3]{2009}] = -13.$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 5)

T5.1. Determinați partea întreagă a numerelor: a) $\sqrt{500}$; b) $\sqrt[3]{500}$; c) $-\sqrt{105}$.

T5.2. Determinați numărul de elemente din mulțimea $Z = \{x \in \mathbb{Z} \mid x - 2 < -\sqrt{5} < x + 2\}$.

6. Calcul cu expresii cu radicali și operații algebrice

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se calculeze: a) $\sqrt[3]{125 \cdot 3^6}$; b) $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{2^{10}}}}$.
- a) Distribuim radicalul produsului:
  $\sqrt[3]{125 \cdot 3^6} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{(3^2)^3} = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45.$
- b) Aplicăm succesiv formula radical din radical $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$:
  $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{2^{10}}}} = \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 5]{2^{10}} = \sqrt[30]{2^{10}} = \sqrt[3]{2}.$
Să se calculeze: $\sqrt{40} \cdot \sqrt[10]{25} \cdot \left(\sqrt[5]{5}\right)^2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{10}$.
- Grupăm termenii convenabil: $\sqrt{40} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{400} = 20$.
- Simplificăm ordinele: $\sqrt[10]{25} = \sqrt[10]{5^2} = \sqrt[5]{5}$.
- Rezultatul final devine: $20 \cdot \sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{5^2} \cdot \sqrt{2} = 20 \cdot \sqrt[5]{5^3} \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt[5]{125} \cdot \sqrt{2}$.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 6)

T6.1. Calculeați: a) $\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 64}$; b) $\sqrt[4]{\dfrac{4096}{81}}$; c) $\left(\sqrt[6]{\left(\dfrac{2}{3}\right)^4}\right)^9$.

T6.2. Simplificați expresia: $E = \sqrt[3]{16} + 2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{250}$.

7. Domeniul de existență al expresiilor cu radicali

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se determine domeniul de existență $D \subset \mathbb{R}$ pentru: a) $\sqrt{2x - 6}$; b) $\sqrt[4]{(x+1)(2-x)}$; c) $\sqrt[3]{x^2 - 5x}$.

a) Ordin par ($n = 2$): impunem ca expresia de sub radical să fie nefnegativă:
$2x - 6 \geq 0 \implies 2x \geq 6 \implies x \geq 3 \implies D = [3, +\infty).$

b) Ordin par ($n = 4$): $(x+1)(2-x) \geq 0$. Rădăcinile funcției de gradul II sunt $x_1 = -1$ și $x_2 = 2$. Coeficientul termenului de gradul doi este negativ ($-1$), deci expresia este pozitivă între rădăcini:

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$x + 1$		−−−−−−−	$0$	+++++++	+	+++++++
$2 - x$		+++++++	+	+++++++	$0$	−−−−−−−
$(x+1)(2-x)$		−−−−−−−	$0$	+++++++	$0$	−−−−−−−

Produsul este nenegativ pe $[-1,\,2]$, deci $D = [-1,\,2]$.

$x \in [-1, 2] \implies D = [-1, 2].$

c) Ordin impar ($n = 3$): Radicalii de ordin impar sunt definiți pe întreaga mulțime a numerelor reale:
$D = \mathbb{R}.$

Să se determine domeniul de existență pentru: $\sqrt{\dfrac{x+1}{5-x}}$.

Impunem condițiile: $\dfrac{x+1}{5-x} \geq 0$ și numitorul $5 - x \neq 0$.

Tabelul de semn al raportului:

$x$	$-\infty$		$-1$		$5$		$+\infty$
$x + 1$		−−−−−−−	$0$	+++++++	+	+++++++
$5 - x$		+++++++	+	+++++++	$0$	−−−−−−−
$\dfrac{x+1}{5-x}$		−−−−−−−	$0$	+++++++	$\\|$	−−−−−−−

Bara verticală de sub $5$ arată valoarea pentru care raportul nu este definit ($5 - x = 0$).

Alcătuind tabelul de semn, raportul este pozitiv pentru $x \in [-1, 5)$, obținând $D = [-1, 5)$.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 7)

T7.1. Determinați domeniul de existență $D \subset \mathbb{R}$ pentru: a) $\sqrt{3x - 12}$; b) $\sqrt{x^2 - 5x + 6}$; c) $\sqrt[6]{-x^2 + 4x - 3}$.

T7.2. Determinați mulțimea de existență a expresiei $E(x) = \sqrt{\dfrac{x^3 - 8}{x^3 + 8}}$.

8. Identități algebrice, modul și ecuații cu radicali

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se determine valorile $x \in \mathbb{R}$ pentru care: a) $\sqrt{x^2} = x$; b) $\sqrt{x^2} = -x$.
- Folosim definiția modulului: $\sqrt{x^2} = |x|$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
- a) $|x| = x \iff x \geq 0 \implies x \in [0, +\infty)$.
- b) $|x| = -x \iff x \leq 0 \implies x \in (-\infty, 0]$.
Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația: $\sqrt{(1-x)^2} = x - 1$.
- Rescriem membrul stâng: $\sqrt{(1-x)^2} = |1 - x| = |x - 1|$. Ecuația devine $|x - 1| = x - 1$.
- Relația $|E(x)| = E(x)$ este adevărată dacă și numai dacă $E(x) \geq 0$.
  $x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1 \implies x \in [1, +\infty).$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 8)

T8.1. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $\sqrt{(x-3)^2} = 3 - x$; b) $\sqrt[3]{(x-1)^3} = x - 1$; c) $\sqrt{(2x-1)^6} = (1 - 2x)^3$.

T8.2. Rezolvați ecuația $\sqrt{(x+2)^2} = \sqrt{(x-4)^2}$.

9. Raționalizarea numitorilor fracțiilor

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se raționalizeze numitorul: a) $\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$; b) $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$.
- a) Amplificăm cu conjugata $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$:
  $\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}.$
- b) Grupăm numitorul $(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ și amplificăm cu $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$:
  $\dfrac{1}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} = \dfrac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - 3} = \dfrac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3} = \dfrac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.$
  Amplificăm din nou cu $\sqrt{2}$:
  $\dfrac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4}.$
Să se raționalizeze numitorul: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}$.
- Utilizăm formula $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Amplificăm cu $\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$:
  $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}} = \dfrac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{2 + 3} = \dfrac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{5}.$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 9)

T9.1. Raționalizați numitorii: a) $\dfrac{4}{\sqrt{8}}$; b) $\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}$; c) $\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$.

T9.2. Raționalizați numitorul fracției $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}$.

10. Radicali dubli (descompunerea radicalilor suprapuși)

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se demonstreze egalitatea: $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 1$.
- Metoda 1 (Formula radicalilor dubli): $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{A-C}{2}}$, unde $C = \sqrt{A^2 - B}$. Avem $A = 6$ și $B = (2\sqrt{5})^2 = 20$. Calculăm $C = \sqrt{6^2 - 20} = \sqrt{16} = 4$.
  $\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{6+4}{2}} + \sqrt{\dfrac{6-4}{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{1} = \sqrt{5} + 1.$
- Metoda 2 (Pătrat perfect sub radical): $6 + 2\sqrt{5} = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5} + 1)^2$. Prin extragerea radicalului obținem $|\sqrt{5} + 1| = \sqrt{5} + 1$.

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 10)

T10.1. Aplicați formula radicalilor dubli pentru a simplifica: a) $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$; b) $\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}$.

T10.2. Arătați că numărul $N = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ este un număr natural.

11. Sume telescopice și identități sumative cu radicali

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se calculeze suma: $S = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{2008} + \sqrt{2009}}$.
- Raționalizăm termenul general $T_k = \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ prin amplificare cu conjugata $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$:
  $T_k = \dfrac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}.$
- Însumând de la $k = 1$ la $k = 2008$, termenii intermediari se reduc telescopice:
  $S = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{2009} - \sqrt{2008}) = \sqrt{2009} - 1.$
Să se determine $n \in \mathbb{N}^*$ astfel încât: $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = 10$.
- Suma se reduce la $\sqrt{n+1} - 1$. Ecuația devine:
  $\sqrt{n+1} - 1 = 10 \implies \sqrt{n+1} = 11 \implies n + 1 = 121 \implies n = 120.$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 11)

T11.1. Calculeați suma: $S = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$.

T11.2. Determinați $n \in \mathbb{N}$ astfel încât $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = 9$.

12. Probleme de numărare, numere raționale și probabilități

Aplicații model rezolvate pas cu pas

Să se determine câte elemente din mulțimea $A = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{900}\}$ sunt numere raționale.
- Elementul $\sqrt{k}$ este rațional dacă și numai dacă $k$ este pătrat perfect.
- Căutăm numărul de pătrate perfecte $k = m^2$ astfel încât $1 \leq m^2 \leq 900$.
  $1 \leq m \leq 30 \quad (m \in \mathbb{N}^*).$
- Prin urmare, mulțimea conține exact 30 de numere raționale.
Dacă se alege la întâmplare un număr din mulțimea $A$, care este probabilitatea ca acesta să fie număr prim?
- Numărul total de cazuri posibile este $N = 900$.
- Cazurile favorabile sunt numerele de forma $\sqrt{k} = p$, unde $p$ este un număr prim (deci $k = p^2$).
- Numerele prime al căror pătrat nu depășește 900 ($p \leq 30$) sunt: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.
- Numărul cazurilor favorabile este $n = 10$. Probabilitatea este:
  $P = \dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} = \dfrac{10}{900} = \dfrac{1}{90}.$

Exerciții de fixare și temă pentru elevi (Secțiunea 12)

T12.1. Determinați câte elemente din mulțimea $B = \{\sqrt[3]{1}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}, \ldots, \sqrt[3]{1000}\}$ sunt numere raționale.

T12.2. Care este probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea $M = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \ldots, \sqrt{100}\}$, acesta să fie un număr natural par?