Lecția 1. Radicali de ordinul n — Clasa a X-a

📄 Versiune PDF

CAPITOLUL I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE. PUTERI ȘI RADICALI

Lecția 1. Radicali de ordinul $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$, $n \geq 2$)

1.1 Radicalul de ordinul $n$ dintr-un număr real pozitiv ($n \in \mathbb{N}^*$, $n \geq 2$)

TEOREMA 1

Ecuația $x^n - a = 0$, cu $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$ și $a \in (0, +\infty)$, are o singură soluție reală pozitivă.

Definiție

Dacă $a > 0$ este un număr real pozitiv și $n \geq 2$ este un număr natural, se numește radical de ordinul $n$ din $a$ (sau rădăcină de ordinul $n$ a lui $a$) numărul real pozitiv a cărui putere a $n$-a este egală cu $a$.

Notație: $\sqrt[n]{a}$.

Proprietăți fundamentale:

$\sqrt[n]{a} > 0$ și $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad (a > 0)$.

Numărul natural $n$ se numește ordinul (sau indicele) radicalului.

Observații și precizări

Dacă $a = 0$, prin definiție avem $\sqrt[n]{0} = 0$.
Dacă ordinul $n$ este 2, pentru $\sqrt[2]{a}$ se folosește scrierea $\sqrt{a}$.
Pentru $n = 1$, ecuația $x^1 - a = 0$ are soluția unică $x = a = \sqrt[1]{a}$.
În determinarea numerelor de forma $\sqrt{x^2}$, cu $x \in \mathbb{R}$, se ține cont că $\sqrt{x^2} \geq 0$. Astfel:
$\sqrt{x^2} = |x|, \quad (\forall)x \in \mathbb{R}$.
Mai general, dacă $x \in \mathbb{R}$ și $k \in \mathbb{N}^*$:
$\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

1.2 Radicalul de ordin impar al unui număr negativ ($a < 0$)

TEOREMA 2

Fie $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, $a < 0$ un număr real negativ și ecuația $x^n - a = 0$. Atunci:

Dacă $n = 2k$ ($k \in \mathbb{N}^*$), ecuația nu are soluții reale.
Dacă $n = 2k - 1$ ($k \in \mathbb{N}^*$), ecuația are o singură soluție reală negativă.

Definiție

Dacă $a < 0$ este un număr real negativ și $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 3$ este un număr impar, se numește radical de ordin $n$ din $a$ numărul real negativ a cărui putere a $n$-a este egală cu $a$. Notație: $\sqrt[n]{a}$.

Relații fundamentale:

$\sqrt[n]{a} < 0, \quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad$ și $\quad \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a} \quad (a < 0)$.

REȚINEM! (Domeniul de existență)

Radicalul de ordin par ($\sqrt[2k]{a}$): Este definit numai pentru numere pozitive sau zero ($a \geq 0$), iar rezultatul său este întotdeauna un număr pozitiv sau nul ($\sqrt[2k]{a} \geq 0$).
Radicalul de ordin impar ($\sqrt[2k+1]{a}$): Este definit pentru orice număr real ($a \in \mathbb{R}$), iar rezultatul are același semn ca numărul $a$.

Bibliografie

Burtea, M., & Burtea, G. (2005). Matematică. Manual pentru clasa a X-a. Trunchi comun + Curriculum diferențiat (M1). Carminis.