MateExamene

Să considerăm expresiile:

$\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}, \qquad \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \qquad$ și $\qquad \dfrac{1}{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2}}$

care prezintă radicali la numitor. Se pune problema scrierii acestor expresii astfel încât să nu mai conțină radicali la numitor. Cum se va proceda?

Așadar, pentru a raționaliza numitorul unei fracții se amplifică fracția cu expresia conjugată expresiei de la numitor.

Operația de raționalizare a numitorilor se va exemplifica pe câteva cazuri tipice de numitori.

1. Numitorul este un radical.

Dacă numitorul fracției este $\sqrt[n]{a^k}$, cu $a > 0$ și $k < n$, atunci fracția se amplifică cu $\sqrt[n]{a^{n-k}}$ și numitorul va fi:

$\sqrt[n]{a^k} \cdot \sqrt[n]{a^{n-k}} = \sqrt[n]{a^n} = a.$

Exemplu:

$\dfrac{3}{\sqrt[4]{5}} = \dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{5^{4-1}}}{\sqrt[4]{5^1} \cdot \sqrt[4]{5^3}} = \dfrac{3\sqrt[4]{125}}{\sqrt[4]{5^4}} = \dfrac{3\sqrt[4]{125}}{5}.$

2. Numitorul este de forma $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})$, cu $a > 0$, $b > 0$.

Deoarece expresiile $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ și $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ sunt conjugate și are loc egalitatea:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b,$

fracția se amplifică cu $(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})$.

Exemplu:

$\dfrac{4}{\sqrt{11} + \sqrt{7}} = \dfrac{4(\sqrt{11} - \sqrt{7})}{(\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{11} - \sqrt{7})} = \dfrac{4(\sqrt{11} - \sqrt{7})}{11 - 7} = \dfrac{4(\sqrt{11} - \sqrt{7})}{4} = \sqrt{11} - \sqrt{7}.$

3. Numitorul este de forma $\sqrt{a} \pm \sqrt{b} \pm \sqrt{c}$, cu $a, b, c > 0$.

În acest caz eliminarea radicalilor de la numitor se realizează prin amplificări succesive cu expresii conjugate, reducând problema la cazul 2.

Exemplu:

Să raționalizăm numitorul fracției $\dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

Amplificăm mai întâi cu conjugata $\left((\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}\right)$:

$\dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2}} = \dfrac{3\left[(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}\right]}{\left[(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}\right]\left[(\sqrt{5} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}\right]}$

$= \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})}{5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2}$

$= \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})}{6 + 2\sqrt{15}} = \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})}{2(3 + \sqrt{15})}.$

Amplificăm în continuare cu conjugata expresiei de la numitor, $(3 - \sqrt{15})$:

$= \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(3 - \sqrt{15})}{2(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})}$

$= \dfrac{3(3\sqrt{5} - \sqrt{75} + 3\sqrt{3} - \sqrt{45} - 3\sqrt{2} + \sqrt{30})}{2(9 - 15)}$

$= \dfrac{3(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + \sqrt{30})}{-12}$

$= \dfrac{3(-2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + \sqrt{30})}{-12} = \dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{4}.$

4. Numitorul este de forma $(\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b})$ sau $\left(\sqrt[3]{a^2} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right)$.

În acest caz se folosesc următoarele perechi de expresii conjugate:

$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right) = a - b,$

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right) = a + b.$

Exemple:

a)

$\dfrac{5}{\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2}} = \dfrac{5\left(\sqrt[3]{7^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}\right)}{(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2})\left(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}\right)}$

$= \dfrac{5\left(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}\right)}{7 - 2} = \dfrac{5\left(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}\right)}{5} = \sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}.$

b)

$\dfrac{6}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1} = \dfrac{6\left(\sqrt[3]{5} + 1\right)}{\left(\sqrt[3]{5^2} - \sqrt[3]{5 \cdot 1} + 1^2\right)\left(\sqrt[3]{5} + 1\right)}$

$= \dfrac{6\left(\sqrt[3]{5} + 1\right)}{5 + 1} = \dfrac{6\left(\sqrt[3]{5} + 1\right)}{6} = \sqrt[3]{5} + 1.$

5. Numitorul este de forma $(\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b})$ sau $\left(\sqrt[n]{a^{n-1}} + \cdots + \sqrt[n]{b^{n-1}}\right)$, respectiv $(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b})$ sau $\left(\sqrt[n]{a^{n-1}} - \cdots + \sqrt[n]{b^{n-1}}\right)$ pentru $n$ impar.

În acest caz se folosesc următoarele perechi de expresii conjugate:

$(\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b})\left(\sqrt[n]{a^{n-1}} + \sqrt[n]{a^{n-2}b} + \cdots + \sqrt[n]{ab^{n-2}} + \sqrt[n]{b^{n-1}}\right) = a - b,$

$(\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b})\left(\sqrt[n]{a^{n-1}} - \sqrt[n]{a^{n-2}b} + \cdots - \sqrt[n]{ab^{n-2}} + \sqrt[n]{b^{n-1}}\right) = a + b, \quad n$ impar.

Exemple:

a)

$\dfrac{15}{\sqrt[4]{5} - 1} = \dfrac{15\left(\sqrt[4]{5^3} + \sqrt[4]{5^2} + \sqrt[4]{5} + 1\right)}{(\sqrt[4]{5} - 1)\left(\sqrt[4]{125} + \sqrt{5} + \sqrt[4]{5} + 1\right)}$

$= \dfrac{15\left(\sqrt[4]{125} + \sqrt{5} + \sqrt[4]{5} + 1\right)}{5 - 1} = \dfrac{15\left(\sqrt[4]{125} + \sqrt{5} + \sqrt[4]{5} + 1\right)}{4}.$

b)

$\dfrac{4}{\sqrt[5]{81} - \sqrt[5]{27} + \sqrt[5]{9} - \sqrt[5]{3} + 1} = \dfrac{4\left(\sqrt[5]{3} + 1\right)}{\left(\sqrt[5]{3^4} - \sqrt[5]{3^3} + \sqrt[5]{3^2} - \sqrt[5]{3} + 1\right)\left(\sqrt[5]{3} + 1\right)}$

$= \dfrac{4\left(\sqrt[5]{3} + 1\right)}{3 + 1} = \dfrac{4\left(\sqrt[5]{3} + 1\right)}{4} = \sqrt[5]{3} + 1.$