Profesor de Matematică - Elena Micu
Introducere
Numerele guvernează lumea. Noțiunea de număr are o origine străveche, care se pierde în negura timpului. De la omul primitiv, nevoit să cunoască multitudinea obiectelor din jurul său și până astăzi, s-au scurs mii de ani în care și-au adus contribuția la dezvoltarea matematicii toate mințile strălucite ale acestor milenii. Dezvoltarea logicii moderne a condus, în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, la necesitatea fundamentării matematicii. Astfel, Giuseppe Peano, în anul 1891, construiește axiomatic mulțimea $\mathbb{N}$ a numerelor naturale, David Hilbert, în anul 1899, construiește axiomatic geometria, iar Ernst Zermelo, în anul 1908, enunță primul sistem al teoriei mulțimilor. G. Peano consideră ca termeni primitivi pe: zero și succesor (dacă $x$ este număr natural, atunci există $x'$, succesorul său). Cele cinci axiome ale lui Peano sunt:
(i) $0 \in \mathbb{N}$ ($0$ este număr natural).
(ii) Dacă $x \in \mathbb{N}$, atunci $x' \in \mathbb{N}$.
(iii) $x' \neq 0$, $(\forall)x \in \mathbb{N}$.
(iv) Dacă $x' = y'$, atunci $x = y$.
(v) Dacă $M \subset \mathbb{N}$ are proprietățile: $0 \in M$ și $x \in M \Rightarrow x' \in M$, atunci $M = \mathbb{N}$ (principiul inducției complete).
Cu ajutorul acestor axiome se definesc operațiile de adunare și înmulțire ale numerelor naturale, se definește relația de ordine „$\leq$" și se demonstrează toate proprietățile numerelor. Cu ajutorul numerelor naturale se construiesc algebric: $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup (-\mathbb{N})$, mulțimea numerelor întregi (notația provenind din limba germană: „die Zahl" înseamnă număr) și $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{m}{n} \,\middle|\, m, n \in \mathbb{Z},\, n \neq 0\right\}$, mulțimea numerelor raționale (notația provenind din limba franceză: „quotient" înseamnă cât). Între aceste mulțimi se stabilesc incluziunile $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
Chiar dacă numerele iraționale au fost descoperite de Pitagora (580–500 î.Ch) și școala sa, abia la sfârșitul secolului al XIX-lea s-a pus problema de a construi numerele reale. Mari matematicieni ai secolului al XIX-lea: Georg Cantor (1845–1918), Richard Dedekind (1831–1916), Karl Weierstrass (1815–1897) au realizat pe căi diferite construcții ale mulțimii $\mathbb{R}$ a numerelor reale pornind de la mulțimea $\mathbb{Q}$ a numerelor raționale.
Reamintim că numărul real $x$ a fost introdus ca număr zecimal astfel: $x = a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots$, unde $a_0 \in \mathbb{Z}$ și $a_k \in \{0, 1, \ldots, 9\}$, $(\forall)k \in \mathbb{N}^*$. Aceasta a fost calea urmată de K. Weierstrass. Indiferent de construcția aleasă, $\mathbb{R}$ verifică o listă de proprietăți pe care le vom numi axiome. Structurile pe care $\mathbb{R}$ le are sunt: algebrică, de ordine și topologică.
Structura algebrică a mulțimii numerelor reale
Adunarea este o operație algebrică pe $\mathbb{R}$, adică o funcție $+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ce asociază oricărui cuplu $(x, y)$ unicul număr real $x + y$ numit suma numerelor $x$ și $y$. Adunarea are proprietățile:
1. $(x + y) + z = x + (y + z)$, $(\forall)x, y, z \in \mathbb{R}$ (asociativitatea adunării).
2. $(\exists)0 \in \mathbb{R}$ astfel încât $x + 0 = 0 + x = x$, $(\forall)x \in \mathbb{R}$ (existența elementului neutru față de $+$).
3. $(\forall)x \in \mathbb{R}$, $(\exists)(-x) \in \mathbb{R}$ astfel încât $x + (-x) = (-x) + x = 0$ (existența opusului).
4. $x + y = y + x$, $\forall x, y \in \mathbb{R}$ (comutativitatea adunării).
Înmulțirea este o operație algebrică pe $\mathbb{R}$, adică o funcție $\cdot\,: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ce asociază oricărui cuplu $(x, y)$ unicul număr real $x \cdot y$ numit produsul numerelor $x$ și $y$.
5. $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$, $(\forall)x, y, z \in \mathbb{R}$ (asociativitatea înmulțirii).
6. $(\exists)1 \in \mathbb{R}$ astfel încât $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$, $(\forall)x \in \mathbb{R}$ (existența elementului neutru față de $\cdot$).
7. $(\forall)x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $(\exists)x^{-1} \in \mathbb{R}$ astfel încât $x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1$ (existența elementului invers al unui număr real nenul).
8. $x \cdot y = y \cdot x$, $(\forall)x, y \in \mathbb{R}$ (comutativitatea înmulțirii).
9. $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$, $(\forall)x, y, z \in \mathbb{R}$ (distributivitatea înmulțirii față de adunare).
Bibliografie