Profesor de Matematică - Elena Micu
În $\mathbb{R}$, un interval reprezintă o mulțime de numere reale care are proprietatea de a fi „continuă" (fără goluri).
Definiția matematică riguroasă se bazează pe structura de ordine a lui $\mathbb{R}$:
O mulțime $I \subset \mathbb{R}$ se numește interval dacă, pentru oricare două elemente $x, y \in I$ cu $x < y$, orice număr real $z$ cuprins între ele ($x < z < y$) aparține de asemenea mulțimii $I$.
S-au definit următoarele tipuri de intervale de numere reale cu ajutorul relațiilor „$\leq$" și „$<$":
INTERVALE MĂRGINITE
Fie $a, b \in \mathbb{R}$, $a \leq b$ numere reale și $A(a)$, $B(b)$ punctele asociate acestora pe axa numerică. Se definesc următoarele mulțimi de numere reale.
1. Intervalul închis cu extremitățile $a$ și $b$: $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$.
2. Intervalul deschis cu extremitățile $a$ și $b$: $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$.
Imaginile geometrice pe axa numerică a intervalelor $[a, b]$, respectiv $(a, b)$ sunt segmentul închis $[AB]$, respectiv segmentul deschis $(AB)$.
3. Intervalele semideschise cu extremitățile $a$ și $b$:
$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$ (închis la stânga, deschis la dreapta)
$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$ (deschis la stânga, închis la dreapta)
Imaginile geometrice pe axa numerică a intervalelor $[a, b)$, respectiv $(a, b]$ sunt mulțimile de puncte $(AB) \cup \{A\}$, respectiv $(AB) \cup \{B\}$.
INTERVALE NEMĂRGINITE
Fie $a \in \mathbb{R}$ și $A(a)$ punctul corespunzător pe axa numerică. Atunci:
1. $[a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$ se numește interval închis la stânga și nemărginit la dreapta.
2. $(a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ se numește interval deschis la stânga și nemărginit la dreapta.
Imaginile geometrice ale intervalelor $[a, +\infty)$, respectiv $(a, +\infty)$ sunt reprezentate pe axa reală de semidreapta închisă $[AX$, respectiv semidreapta deschisă $(AX$, cu originea în $A$ și care conțin punctul $X$.
3. $(-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq a\}$ se numește interval închis la dreapta și nemărginit la stânga.
4. $(-\infty, a) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$ se numește interval deschis la dreapta și nemărginit la stânga.
Imaginile geometrice ale intervalelor $(-\infty, a]$, respectiv $(-\infty, a)$ sunt reprezentate de semidreapta închisă $[AX$, respectiv semidreapta deschisă $(AX$, cu originea în $A$ și care conțin punctul $X$.
INTERVALE SIMETRICE
Fie $a$ un număr real, $a \in (0, +\infty)$. Un interval de forma $[-a, a]$ sau $(-a, a)$ se numește interval simetric.
Imaginea geometrică pe axa numerică a intervalului simetric este un segment cu mijlocul situat în origine.
Dacă $x \in [-a, a]$, rezultă că $-a \leq x \leq a$ și se obține $|x| \leq a$.
Așadar, $[-a, a] = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \leq a\}$ și $(-a, a) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| < a\}$.
Afirmația $x \notin [-a, a]$ este echivalentă cu $(x < -a$ sau $x > a)$ care, cu ajutorul modulului, se scrie $|x| > a$. Rezultă că $(-\infty, -a) \cup (a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| > a\}$.
De asemenea $(-\infty, -a] \cup [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| \geq a\}$.
OBSERVAȚIE
Pentru $a = +\infty$, intervalul $(-a, a) = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ este interval simetric.
Temă
1. Fie $I \subset \mathbb{R}$ un interval. Să se arate că $I$ este un interval simetric dacă și numai dacă $(\forall)\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{I}$ rezultă $-\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{I}$.
2. Fie $\boldsymbol{A} \subset \mathbb{R}$ o mulțime cu proprietatea că $(\forall)\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{A} \Rightarrow -\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{A}$. Rezultă că $\boldsymbol{A}$ este interval simetric?
INTERVALE CENTRATE ÎNTR-UN PUNCT
Fie $a \in \mathbb{R}$ și $r \in (0, +\infty)$. Un interval de forma $[a - r, a + r]$ sau $(a - r, a + r)$ se numește interval centrat în $a$.
Relația $x \in [a - r, a + r]$ se scrie succesiv $a - r \leq x \leq a + r$ sau $-r \leq x - a \leq r$ sau $|x - a| \leq r$.
Așadar,
$[a - r, a + r] = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - a| \leq r\}$ și
$(a - r, a + r) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - a| < r\}$.
Intersecția și reuniunea a două intervale centrate în $a$ sunt intervale centrate în $a$.
Temă
1. Fie $I_1, I_2$ două intervale centrate în $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}$, diferite. Să se arate că $I_1 \cap I_2, \, I_1 \cup I_2 \in \{I_1, I_2\}$.
2. Fie $n \in \mathbb{N}^*$ și $I_1, I_2, \ldots, I_n$ intervale centrate în $a \in \mathbb{R}$. Să se arate că reuniunea și intersecția lor sunt intervale centrate în $a$.
TEOREMA 1
Dacă $x_0 \in \mathbb{R}$ și $I \subset \mathbb{R}$ este un interval deschis care conține pe $x_0$, atunci există un interval centrat în $x_0$, inclus în $I$.
Demonstrație
Fie $I = (a, b)$.
Notăm cu $\varepsilon = \min\{b - x_0,\, x_0 - a\}$.
Atunci intervalul $I_\varepsilon = (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \subset (a, b)$ și este centrat în $x_0$.
Bibliografie