MateExamene

1. Monotonia Funcțiilor și Puncte de Extrem

1.1   Monotonia unei Funcții

Fie $f : D \to \mathbb{R}$ o funcție reală definită pe domeniul $D \subseteq \mathbb{R}$ și fie $I \subseteq D$ un interval.

Studiul Monotoniei cu Raportul de Variație

Monotonia funcției $f : D \to \mathbb{R}$ pe intervalul $I \subseteq D$ se poate studia folosind semnul raportului de variație:

$R(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}, \quad$ unde $x_1, x_2 \in I,\ x_1 \neq x_2$

• Dacă $R(x_1, x_2) \geq 0$ $(> 0)$ pentru orice $x_1, x_2 \in I$, $x_1 \neq x_2$, atunci $f$ este crescătoare (strict crescătoare) pe $I$.
• Dacă $R(x_1, x_2) \leq 0$ $(< 0)$ pentru orice $x_1, x_2 \in I$, $x_1 \neq x_2$, atunci $f$ este descrescătoare (strict descrescătoare) pe $I$.

1.2   Puncte de Extrem ale Funcțiilor

2. Convexitate, Concavitate și Teorema lui Jensen

2.1   Definiții și Interpretare Geometrică

Interpretare geometrică:

• Convexitate (vezi mai jos): Fiecare coardă care unește două puncte $A(x_1, f(x_1))$ și $B(x_2, f(x_2))$ de pe grafic se află deasupra arcului de grafic corespunzător.
• Concavitate (vezi mai jos): Fiecare arc al graficului se află deasupra coardei respective $AB$.

2.2   Teorema lui Jensen (Forma Expandată)

Forma Expandată Generală ($n$ puncte):

$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \cdots + \lambda_n f(x_n)$

unde $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1$,  $\lambda_i \geq 0$.

Cazuri Particulare Uzuale:

1. Cazul $n = 2$: Notând $\lambda_1 = \lambda$ și $\lambda_2 = 1 - \lambda$:

   $f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2)$

2. Cazul $n = 3$: Pentru $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$:

   $f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \lambda_3 f(x_3)$

3. Cazul Ponderilor Egale $\left(\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = \dfrac{1}{n}\right)$:

   $f\left(\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$

   (Imaginea mediei aritmetice este mai mică sau egală cu media aritmetică a imaginilor).

Observație: În cazul funcțiilor concave, inegalitățile au loc în sens opus $(\geq)$.

3. Injectivitate, Surjectivitate și Bijectivitate

3.1   Injectivitatea Funcțiilor

Criteriul Dreptei Orizontale pentru Injectivitate:

O funcție $f : A \to B$ este injectivă dacă și numai dacă orice dreaptă paralelă cu axa $Ox$ $(y = c)$ intersectează graficul funcției $G_f$ în cel mult un punct (0 sau 1 punct).

• Figura 5 (Neinjectivă): Dreapta orizontală $d_2$ intersectează graficul în două puncte distincte $P_1(x_1)$ și $P_2(x_2)$, arătând că $f(x_1) = f(x_2)$ deși $x_1 \neq x_2$.
• Figura 6 (Injectivă discontinuă): Deși funcția este discontinuă pe ramuri, orice dreaptă $d_k \parallel Ox$ taie graficul în cel mult un punct.
• Figura 7 (Injectivă continuă): Funcție continuă și strict crescătoare; orice dreaptă orizontală intersectează graficul în cel mult un punct.

3.2   Surjectivitatea Funcțiilor

Criteriul Dreptei Orizontale pentru Surjectivitate:

O funcție $f : A \to B$ este surjectivă dacă și numai dacă orice dreaptă paralelă cu axa $Ox$, dusă printr-un punct al codomeniului reprezentat pe axa $Oy$, intersectează graficul funcției în cel puțin un punct (1, 2 sau mai multe puncte).

• Funcția din Figura 5 cu codomeniul $\mathbb{R}$ nu este surjectivă (dreptele $d_1$ și $d_3$ nu intersectează graficul). Totuși, dacă codomeniul se restrânge la $\operatorname{Im}(f) = [c, d]$, funcția devine surjectivă.
• Funcția din Figura 7 cu codomeniul $\mathbb{R}$ este surjectivă.

3.3   Bijectivitatea Funcțiilor

Criteriul Dreptei Orizontale pentru Bijectivitate:

O funcție $f : A \to B$ este bijectivă dacă și numai dacă orice dreaptă paralelă cu axa $Ox$ dusă prin orice punct al codomeniului intersectează graficul funcției în exact un punct.

4. Funcția Inversă

4.1   Definiție și Teorema de Existență

4.2   Proprietăți de Monotonie și Convexitate ale Inversei $f^{-1}$

Fie $f : A \to B$ o funcție bijectivă și $f^{-1} : B \to A$ inversa sa. Sunt adevărate următoarele proprietăți:

1. Monotonie: Dacă $f$ este monotonă, atunci $f^{-1}$ are aceeași monotonie ca și $f$.
2. Convexitate/Concavitate pentru funcții crescătoare:
   • Dacă $f$ este crescătoare și convexă, atunci $f^{-1}$ este concavă.
   • Dacă $f$ este crescătoare și concavă, atunci $f^{-1}$ este convexă.
3. Convexitate/Concavitate pentru funcții descrescătoare:
   • Dacă $f$ este descrescătoare și convexă, atunci $f^{-1}$ rămâne convexă.
   • Dacă $f$ este descrescătoare și concavă, atunci $f^{-1}$ rămâne concavă.

4.3   Interpretare Geometrică și Simetria Graficelor

Dacă punctul $M(a, b)$ aparține graficului funcției $f$ $(f(a) = b)$, atunci punctul $M'(b, a)$ aparține graficului funcției inverse $f^{-1}$ $(f^{-1}(b) = a)$.

Punctele $M(a, b)$ și $M'(b, a)$ sunt simetrice față de prima bisectoare (dreapta $y = x$) (vezi mai jos).

5. Simetrii ale Graficului și Periodicitate

5.1   Simetria față de o Dreaptă Verticală $x = a$

Caz Particular: Funcții Pare $(a = 0)$

Dacă $a = 0$, mulțimea $D$ este simetrică față de origine $(x \in D \implies -x \in D)$.

$f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D$

Spunem că $f$ este o funcție pară, iar graficul său este simetric față de axa $Oy$.

5.2   Simetria față de un Punct $P(a, b)$

Caz Particular: Funcții Impare $(a = 0, b = 0)$

Dacă $a = 0$ și $b = 0$:

$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D$

Spunem că $f$ este o funcție impară, iar graficul său este simetric față de originea $O(0,0)$.

5.3   Periodicitatea Funcțiilor

Construirea graficului: Graficul funcției periodice se obține prin translații paralele cu axa $Ox$ de lungime $nT$ $(n \in \mathbb{Z})$ ale restricției funcției pe un interval de lungime $T$ $([a, a+T])$ (vezi mai jos).