Profesor de Matematică - Elena Micu
Definiția șirului de numere reale
Definiție (Șir de numere reale)
Fie $k \in \mathbb{N}$ un număr natural fixat și mulțimea indexată $\mathbb{N}_k = \{n \in \mathbb{N} \mid n \geq k\}$.
Se numește șir de numere reale orice funcție $f: \mathbb{N}_k \to \mathbb{R}$.
Dacă $f(n) = a_n$ pentru orice $n \geq k$, șirul se notează uzual sub forma $(a_n)_{n \geq k}$.
Pentru $k = 1$ notăm șirul simplu $(a_n)_{n \geq 1}$, iar elementul $a_n$ se numește termenul de rang $n$ (sau termenul general) al șirului.
Observație
Trebuie să facem o distincție riguroasă între un șir de numere reale și mulțimea termenilor săi!
Este esențial să facem o distincție conceptuală clară între:
1. Șirul de numere reale: reprezintă funcția $f$ însăși (sau ordinea bine determinată a termenilor: $a_0, a_1, a_2, \ldots$) și
2. Mulțimea termenilor șirului: este imaginea funcției, adică mulțimea:
$$T = \operatorname{Im}(f) = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}_k\} \subset \mathbb{R}.$$
Exemple
1) Fie șirul $x_n = (-1)^n$, $(\forall)n \in \mathbb{N}$. Ca funcție, șirul este $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, $f(n) = (-1)^n$, având o infinitate de termeni ordonați astfel: $1, -1, 1, -1, \ldots$
În schimb, mulțimea termenilor săi este finită: $\operatorname{Im}(f) = \{-1, 1\}$.
2) Fie șirul definit prin $f(n) = \left[\dfrac{n}{3}\right]$, $(\forall)n \geq 1$, unde $[x]$ denotă partea întreagă. Termenii șirului sunt $0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, \ldots$, iar mulțimea termenilor este $\mathbb{N}$.
3) Pentru $a_n = \dfrac{n-1}{n}$, $n \geq 1$, termenii sunt $0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \ldots$, iar mulțimea termenilor este:
$$T = \left\{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \ldots, \frac{n-1}{n}, \ldots\right\} \subset [0, 1).$$
Moduri de definire a unui șir de numere reale
Un șir de numere reale poate fi specificat prin mai multe procedee:
1) Prin descrierea unei proprietăți (fără formulă analitică directă):
Exemplu
Șirul cifrelor zecimale ale numărului $\sqrt{3} = 1{,}73205\cdots \Longrightarrow a_1 = 1$, $a_2 = 7$, $a_3 = 3$, $a_4 = 2$, $a_5 = 0$, ….
2) Prin termenul general (formulă explicită): Se dă o formulă $a_n = g(n)$ care permite calculul direct al oricărui termen în funcție de $n$. Un șir de numere reale poate fi definit prin mai multe formule (poate fi definit printr-o funcție multiformă).
3) Printr-o relație de recurență: Se dau unul sau mai mulți termeni inițiali și o lege de calcul a termenului $a_n$ în funcție de termenii anteriori.
Reprezentarea grafică a șirurilor
Fiind o funcție $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, un șir poate fi reprezentat grafic în două moduri:
1. În planul cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$: Graficul este mulțimea de puncte izolate $G_f = \{(n, a_n) \mid n \in \mathbb{N}\}$.
2. Pe axa reală $\mathbb{R}$: Se reprezintă punctele $A_n$ de abscisă $a_n$.
Exemplu de reprezentare pe axă
Pentru șirul $a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n}{n+1}$, $n \geq 1$, termenii sunt $a_1 = \dfrac{1}{2}$, $a_2 = -\dfrac{2}{3}$, $a_3 = \dfrac{3}{4}$, $a_4 = -\dfrac{4}{5}$, …. Termenii de rang impar sunt pozitivi și se apropie de $1$, iar cei de rang par sunt negativi și se apropie de $-1$.
Bibliografie