MateExamene

Forma Generală

O recurență liniară de ordinul I cu coeficienți constanți are forma:

$$x_{n+1} = ax_n + b, \quad (\forall)n \geq 1, \ \text{cu } a, b \in \mathbb{R}, \text{ și } x_1 \text{ dat.}$$

Metoda de Rezolvare

Cazul 1: $a = 1$

Relația de recurență devine $x_{n+1} = x_n + b$, deci șirul este o progresie aritmetică de rație $b$, așadar vom avea:

$$x_n = x_1 + (n-1) \cdot b, \quad (\forall)n \geq 1.$$

Cazul 2: $a \neq 1$

Se determină punctul fix al relației prin rezolvarea ecuației $t = at + b \Longrightarrow t = \dfrac{b}{1-a}$.

Scăzând $t = \dfrac{b}{1-a}$ din ambii membri ai relației de recurență, obținem:

$$x_{n+1} - t = ax_n + b - t = a(x_n - t) + at + b - t = a(x_n - t) \underbrace{-\,t(1-a) + b}_{=\,0} = a(x_n - t).$$

Notând $y_n = x_n - t$, șirul $(y_n)_{n \geq 1}$ este o progresie geometrică de rație $a$, având termenul general: $y_n = y_1 \cdot a^{n-1} = (x_1 - t)a^{n-1}$. Astfel, termenul general al șirului inițial este:

$$x_n = \left(x_1 - \frac{b}{1-a}\right)a^{n-1} + \frac{b}{1-a}.$$

Observație

În cazul $a = 1$, $b = 0$ se obține un șir constant $x_n = x_1$, $(\forall)n \geq 1$.

În cazul $a \neq 1$, $b = 0$ se obține $x_{n+1} = ax_n$, $(\forall)n \geq 1$, deci o progresie geometrică de rație $a \neq 1$.

Exemple de recurențe liniare de ordinul I

1) $x_1 = 3$ și $x_{n+1} = 2x_n + 1$, $(\forall)n \geq 1$.

Punctul fix este $t = 2t + 1 \Longrightarrow t = -1$.

Avem $x_{n+1} - (-1) = 2x_n + 1 - (-1) \Longrightarrow x_{n+1} + 1 = 2x_n + 2 \Longrightarrow x_{n+1} + 1 = 2(x_n + 1) \Longrightarrow$

$\Longrightarrow y_{n+1} = 2y_n \Longrightarrow y_n = y_1 \cdot 2^{n-1} \Longrightarrow x_n + 1 = 4 \cdot 2^{n-1}$. Deci $x_n = 2^{n+1} - 1$.

2) Recurență reductibilă la cea liniară prin ridicare la pătrat:

$a_1 = 1$ și $a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 1}$, $(\forall)n \geq 1$.

Ridicând la pătrat, $a_{n+1}^2 = a_n^2 + 1$.

Notând $y_n = a_n^2$, avem $y_{n+1} = y_n + 1$ cu $y_1 = 1$.

Rezultă că $y_n$ este o progresie aritmetică cu $y_n = n \Longrightarrow a_n = \sqrt{n}$ (observați că șirul dat are termenii pozitivi).

Temă

Aflați termenul general al șirului:

1) $(x_n)_{n \geqslant 1}, \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_{n+1} = 3x_n - 1, \ (\forall)n \geqslant 1 \end{cases}$;

2) $(x_n)_{n \geqslant 1}, \begin{cases} x_1 = \dfrac{1}{2} \\ x_{n+1} = -2x_n + 3, \ (\forall)n \geqslant 1 \end{cases}$;

3) $(x_n)_{n \geqslant 1}, \begin{cases} x_1 = \sqrt{2} \\ x_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}x_n - 1, \ (\forall)n \geqslant 1 \end{cases}$.