1. Forma trigonometrică a unui număr complex
Definiție (modulul și argumentul unui număr complex)
Fie un număr complex scris sub formă algebrică $z = a + bi \in \mathbb{C}$, unde $a, b \in \mathbb{R}$, iar $i^2 = -1$.
1. Modulul numărului complex $z$, notat $r = |z|$, este numărul real nenegativ definit prin:
$$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0.$$
2. Argumentul redus al lui $z$ (pentru $z \neq 0$) este unicul număr $t \in [0, 2\pi)$ pentru care:
$$\cos t = \frac{a}{r} \quad \text{și} \quad \sin t = \frac{b}{r}.$$
Teoremă (forma trigonometrică)
Orice număr complex nenul $z = a + bi$ se poate scrie în mod unic sub forma trigonometrică:
$$z = r \cdot (\cos t + i \sin t),$$
unde $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, iar $t \in [0, 2\pi)$ este argumentul redus.
Determinarea argumentului redus $t$ pe cadrane și semiaxe
Pentru un număr complex $z = a + bi \neq 0$, unghiul de referință este $\varphi = \operatorname{arctg}\left|\dfrac{b}{a}\right| \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ (când $a \neq 0$). Calculul argumentului redus $t \in [0, 2\pi)$ depinde de poziția punctului $(a, b)$ în planul complex:
1. Punct situat în cadrane (cazul general, cu $\operatorname{arctg}$):
- Cadranul I $(a > 0,\ b > 0)$: $\ t = \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}$;
- Cadranul II $(a < 0,\ b > 0)$: $\ t = \pi - \operatorname{arctg}\left|\dfrac{b}{a}\right| = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}$;
- Cadranul III $(a < 0,\ b < 0)$: $\ t = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}$;
- Cadranul IV $(a > 0,\ b < 0)$: $\ t = 2\pi - \operatorname{arctg}\left|\dfrac{b}{a}\right| = 2\pi + \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}$.
Sintetic: în general, argumentul este de forma $t = \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a} + k\pi$, unde $k \in \{0, 1, 2\}$ se alege astfel încât $t \in [0, 2\pi)$.
2. Punct situat pe semiaxe $(a = 0$ sau $b = 0)$:
- semiaxa reală pozitivă $(a > 0,\ b = 0)$: $\ t = 0$;
- semiaxa imaginară pozitivă $(a = 0,\ b > 0)$: $\ t = \dfrac{\pi}{2}$;
- semiaxa reală negativă $(a < 0,\ b = 0)$: $\ t = \pi$;
- semiaxa imaginară negativă $(a = 0,\ b < 0)$: $\ t = \dfrac{3\pi}{2}$.
Formula lui Moivre (puterea unui număr complex)
Dacă $z = r(\cos t + i \sin t)$ și $n \in \mathbb{N}^*$, atunci:
$$z^n = r^n \cdot \big(\cos(nt) + i \sin(nt)\big).$$
Exemple recapitulative: scrierea sub formă trigonometrică
Exemplul R1 (cadranul I)
Să se scrie sub formă trigonometrică numărul complex $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$.
- Modulul: $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
- Argumentul: deoarece $a = 1 > 0$ și $b = \sqrt{3} > 0$, punctul este în cadranul I, deci $t = \operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{3}}{1} = \dfrac{\pi}{3}$.
Forma trigonometrică: $z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$.
Exemplul R2 (cadranul II)
Să se scrie sub formă trigonometrică numărul complex $z_2 = -1 + i$.
- Modulul: $r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
- Argumentul: deoarece $a = -1 < 0$ și $b = 1 > 0$, punctul este în cadranul II, deci $t = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac{1}{-1} = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.
Forma trigonometrică: $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)$.
Exemplul R3 (cadranul III)
Să se scrie sub formă trigonometrică numărul complex $z_3 = -\sqrt{3} - i$.
- Modulul: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$.
- Argumentul: deoarece $a = -\sqrt{3} < 0$ și $b = -1 < 0$, punctul este în cadranul III, deci $t = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac{-1}{-\sqrt{3}} = \pi + \operatorname{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$.
Forma trigonometrică: $z_3 = 2\left(\cos\dfrac{7\pi}{6} + i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)$.
2. Recurențe liniare de ordinul II și rădăcini complexe
Se consideră recurența liniară de ordinul doi:
$$x_{n+2} = a \cdot x_{n+1} + b \cdot x_n, \quad a, b \in \mathbb{R},\ b \neq 0,$$
cu ecuația caracteristică asociată $r^2 - ar - b = 0$.
Teoremă (termenul general al șirului recurent)
1. Rădăcini reale și distincte $(r_1 \neq r_2 \in \mathbb{R})$:
$$x_n = c_1 r_1^{\,n} + c_2 r_2^{\,n}.$$
2. Rădăcină reală dublă $(r_1 = r_2 = r \in \mathbb{R})$:
$$x_n = (c_1 + c_2 n)\, r^n.$$
3. Rădăcini complexe conjugate $\left(r_{1,2} = \rho(\cos\theta \pm i\sin\theta) \notin \mathbb{R}\right)$:
$$x_n = \rho^n \big(c_1 \cos(n\theta) + c_2 \sin(n\theta)\big),$$
unde $\rho = |r_{1,2}|$ este modulul, iar $\theta$ este argumentul redus al rădăcinilor caracteristice.
3. Rezolvarea exercițiilor din fișă
Exercițiul 1.a
Determinați termenul general al șirului: $x_{n+2} = 5x_{n+1} - 6x_n$, cu $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{13}{5}$.
- Ecuația caracteristică: $r^2 - 5r + 6 = 0 \Longrightarrow (r-2)(r-3) = 0 \Longrightarrow r_1 = 2,\ r_2 = 3$.
- Forma generală: $x_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 3^n$.
- Determinarea constantelor: din $n = 1$ avem $2c_1 + 3c_2 = 1$, iar din $n = 2$ avem $4c_1 + 9c_2 = \dfrac{13}{5}$, de unde $c_1 = \dfrac{1}{5}$ și $c_2 = \dfrac{1}{5}$.
Soluție finală: $x_n = \dfrac{2^n + 3^n}{5}$.
Exercițiul 1.c
Determinați termenul general al șirului: $x_{n+2} = 4x_{n+1} - 4x_n$, cu $x_1 = 6$, $x_2 = 20$.
- Ecuația caracteristică: $r^2 - 4r + 4 = 0 \Longrightarrow (r-2)^2 = 0 \Longrightarrow r_1 = r_2 = 2$ (rădăcină dublă).
- Forma generală: $x_n = (c_1 + c_2 n) \cdot 2^n$.
- Determinarea constantelor: din $n = 1$ avem $2(c_1 + c_2) = 6 \Longrightarrow c_1 + c_2 = 3$, iar din $n = 2$ avem $4(c_1 + 2c_2) = 20 \Longrightarrow c_1 + 2c_2 = 5$, de unde $c_2 = 2$ și $c_1 = 1$.
Soluție finală: $x_n = (2n + 1) \cdot 2^n$.
Exercițiul 1.d (aplicație directă a formei trigonometrice)
Determinați termenul general al șirului: $x_{n+2} = x_{n+1} - x_n$, cu $x_1 = 2$, $x_2 = 1$.
- Ecuația caracteristică: $r^2 - r + 1 = 0$, cu $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$.
- Rădăcinile complexe: $r_{1,2} = \dfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
- Modulul: $\rho = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$.
- Argumentul redus: $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow \theta = \dfrac{\pi}{3}$.
- Forma generală: $x_n = 1^n\left(c_1 \cos\dfrac{n\pi}{3} + c_2 \sin\dfrac{n\pi}{3}\right)$.
- Determinarea constantelor: din $n = 1$ avem $\dfrac{1}{2}c_1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}c_2 = 2 \Longrightarrow c_1 + c_2\sqrt{3} = 4$, iar din $n = 2$ avem $-\dfrac{1}{2}c_1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}c_2 = 1 \Longrightarrow -c_1 + c_2\sqrt{3} = 2$. Scăzând ecuațiile obținem $2c_1 = 2 \Longrightarrow c_1 = 1$, de unde $c_2 = \sqrt{3}$.
Soluție finală: $x_n = \cos\dfrac{n\pi}{3} + \sqrt{3}\sin\dfrac{n\pi}{3}$.
Exercițiul 1.e
Determinați termenul general al șirului: $\dfrac{5}{x_n} = \dfrac{3}{x_{n+1}} + \dfrac{2}{x_{n-1}}$, cu $x_1 = 5$, $x_2 = 11$.
- Substituție: notăm $y_n = \dfrac{1}{x_n}$. Recurența devine $3y_{n+1} - 5y_n + 2y_{n-1} = 0$, adică $3y_{n+2} - 5y_{n+1} + 2y_n = 0$.
- Termenii inițiali: $y_1 = \dfrac{1}{5}$, $y_2 = \dfrac{1}{11}$.
- Ecuația caracteristică: $3r^2 - 5r + 2 = 0 \Longrightarrow (3r - 2)(r - 1) = 0 \Longrightarrow r_1 = 1,\ r_2 = \dfrac{2}{3}$.
- Soluția pentru $y_n$: $y_n = c_1 + c_2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Din condițiile inițiale obținem $c_1 = -\dfrac{7}{55}$ și $c_2 = \dfrac{27}{55}$.
Soluție finală: $x_n = \dfrac{1}{y_n} = \dfrac{55 \cdot 3^n}{27 \cdot 2^n - 7 \cdot 3^n}$.
Exercițiul 1.f
Determinați termenul general al șirului: $x_{n+1} x_n = 3x_n x_{n+2} - 2x_{n+1} x_{n+2}$, cu $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
- Împărțind prin $x_n x_{n+1} x_{n+2} \neq 0$, obținem: $\dfrac{1}{x_{n+2}} - \dfrac{3}{x_{n+1}} + \dfrac{2}{x_n} = 0$.
- Cu notația $z_n = \dfrac{1}{x_n}$, recurența devine $z_{n+2} - 3z_{n+1} + 2z_n = 0$, având ecuația caracteristică $r^2 - 3r + 2 = 0$, cu rădăcinile $r_1 = 1$, $r_2 = 2$.
- Soluția pentru $z_n$: $z_n = c_1 + c_2 \cdot 2^n$.
- Termenii inițiali: $z_1 = \dfrac{1}{x_1} = 1$ și $z_2 = \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{2}$.
- Determinarea constantelor: din $n = 1$ avem $c_1 + 2c_2 = 1$, iar din $n = 2$ avem $c_1 + 4c_2 = \dfrac{1}{2}$. Scăzând ecuațiile obținem $2c_2 = -\dfrac{1}{2} \Longrightarrow c_2 = -\dfrac{1}{4}$, de unde $c_1 = \dfrac{3}{2}$.
- Așadar $z_n = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2^n}{4} = \dfrac{6 - 2^n}{4}$.
Soluție finală: $x_n = \dfrac{1}{z_n} = \dfrac{4}{6 - 2^n} = \dfrac{2}{3 - 2^{\,n-1}}$.
4. Temă: exercițiul 1.b (ghidată și rezolvată)
Exercițiul 1.b
Determinați termenul general al șirului: $6x_{n+2} = 5x_{n+1} - x_n$, cu $x_1 = \dfrac{1}{6}$, $x_2 = \dfrac{5}{36}$.
- Ecuația caracteristică: $6r^2 - 5r + 1 = 0 \Longrightarrow (2r - 1)(3r - 1) = 0 \Longrightarrow r_1 = \dfrac{1}{2},\ r_2 = \dfrac{1}{3}$.
- Forma generală: $x_n = c_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + c_2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
- Determinarea constantelor: din $n = 1$ avem $\dfrac{c_1}{2} + \dfrac{c_2}{3} = \dfrac{1}{6} \Longrightarrow 3c_1 + 2c_2 = 1$, iar din $n = 2$ avem $\dfrac{c_1}{4} + \dfrac{c_2}{9} = \dfrac{5}{36} \Longrightarrow 9c_1 + 4c_2 = 5$, de unde $c_1 = 1$ și $c_2 = -1$.
Soluție finală: $x_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{1}{2^n} - \dfrac{1}{3^n}$.
5. Două probleme suplimentare propuse (cu rădăcini complexe)
Problema propusă 1
Să se determine termenul general al șirului $x_{n+2} = \sqrt{2}\,x_{n+1} - x_n$, cu $x_1 = 1$, $x_2 = \sqrt{2}$.
Rezolvare.
- Ecuația caracteristică $r^2 - \sqrt{2}\,r + 1 = 0$ are $\Delta = -2 < 0$.
- Rădăcinile $r_{1,2} = \dfrac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2}$ au modulul $\rho = 1$ și argumentul $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
- Termenul general: $x_n = c_1 \cos\dfrac{n\pi}{4} + c_2 \sin\dfrac{n\pi}{4}$. Din $x_1 = 1$ și $x_2 = \sqrt{2}$ rezultă $c_1 = 0$ și $c_2 = \sqrt{2}$.
Soluție: $x_n = \sqrt{2}\sin\dfrac{n\pi}{4}$.
Problema propusă 2
Să se determine termenul general al șirului $x_{n+2} = 2x_{n+1} - 2x_n$, cu $x_1 = 2$, $x_2 = 2$.
Rezolvare.
- Ecuația caracteristică $r^2 - 2r + 2 = 0$ are rădăcinile $r_{1,2} = 1 \pm i$.
- Modulul $\rho = |1 \pm i| = \sqrt{2}$, iar argumentul $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.
- Termenul general: $x_n = (\sqrt{2})^n\left(c_1 \cos\dfrac{n\pi}{4} + c_2 \sin\dfrac{n\pi}{4}\right)$. Din $x_1 = 2$ și $x_2 = 2$ deducem $c_1 = 1$ și $c_2 = 1$.
Soluție: $x_n = (\sqrt{2})^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4} + \sin\dfrac{n\pi}{4}\right)$.
Bibliografie
- Mihai, I., Maftei, I. V., Pârșan, L., Mihai, A., & Nicolescu, C. P. (2006). Matematică M1: Manual pentru clasa a XI-a. Editura Didactică și Pedagogică.