Profesor de Matematică - Elena Micu
Dacă elevii unei clase se așează câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așează câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
Fie \( b \) = numărul de bănci din laborator și \( e \) = numărul de elevi.
Din enunț rezultă două relații:
\[ \begin{cases} e = 2b + 3 & \text{(câte 2 în bancă, rămân 3 în picioare)} \\[6pt] e = 4(b - 6) + 1 = 4b - 23 & \text{(câte 4 în bancă: } b{-}6 \text{ bănci pline} + 1 \text{ bancă cu 1 elev)} \end{cases} \]
\( 30 = 2b + 3 \implies 2b = 27 \implies b = 13{,}5 \)
\( b = 13{,}5 \) nu este număr natural, deci nu este posibil ca în clasă să fie 30 de elevi.
Dacă se așează câte 4 în bancă: rămân 5 bănci complet libere și 1 bancă cu un singur elev. Deci \( b - 6 \) bănci sunt ocupate câte 4, plus 1 bancă cu un elev:
\[ e = 4 \cdot (b - 6) + 1 = 4b - 23 \]
\[ 2b + 3 = 4b - 23 \] \[ 3 + 23 = 4b - 2b \] \[ 26 = 2b \implies \boxed{b = 13 \text{ bănci}} \]
\( e = 2 \cdot 13 + 3 = 26 + 3 = 29 \text{ elevi} \)
Câte 2 în bancă: \( 2 \cdot 13 + 3 = 29 \) ✅
Câte 4 în bancă: \( 29 = 4 \cdot 7 + 1 \), deci 7 bănci cu 4 elevi + 1 bancă cu 1 elev = 8 bănci ocupate, \( 13 - 8 = 5 \) bănci libere ✅
\( b \) = bănci, \( e \) = elevi. Fiecare propoziție din enunț devine o ecuație.
Dacă \( e = 30 \), înlocuiești în prima relație și verifici dacă \( b \) iese număr natural.
„5 bănci libere și o bancă cu un singur elev" → din cele \( b \) bănci, \( 5 + 1 = 6 \) sunt neocupate complet cu câte 4 elevi. Deci \( b - 6 \) bănci sunt pline.
Ambele relații exprimă \( e \) în funcție de \( b \). Egalizând, obții o ecuație cu o singură necunoscută.
5 bănci libere înseamnă că 5 bănci nu are niciun elev, nu că 5 locuri sunt goale.
Ambele trebuie să dea același \( e = 29 \). Nu omite verificarea condiției a doua cu numărul efectiv de bănci libere.