Profesor de Matematică - Elena Micu
Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.
Fie \( n \) = numărul de cărți. Din enunț, împărțind la 8, 12 sau 18, restul este mereu 5:
\( n - 5 \) este divizibil cu 8, cu 12 și cu 18, deci \( (n-5) \) este multiplu al lui \( \text{cmmmc}(8, 12, 18) \).
\( 8 = 2^3,\quad 12 = 2^2 \cdot 3,\quad 18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{cmmmc}(8,12,18) = 2^3 \cdot 3^2 = 72 \)
Deci \( n = 72k + 5 \), unde \( k \in \mathbb{N} \).
\( 53 = 8 \cdot 6 + 5 \) ✅
\( 53 = 12 \cdot 4 + 5 \) ✅
\( 53 = 18 \cdot 2 + 17 \) — restul este \( 17 \neq 5 \) ✗ — condiția pentru 18 nu este îndeplinită.
\( n - 5 \) trebuie să fie multiplu de \( \text{cmmmc}(8, 12, 18) = 72 \).
\( 53 - 5 = 48 \). Deoarece \( 48 < 72 \), numărul 48 nu este multiplu de 72 → imposibil.
\[ 8 = 2^3, \quad 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^2 \] \[ \text{cmmmc}(8, 12, 18) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \]
\( n = 72k + 5 \), unde \( k \in \mathbb{N} \)
\( k = 0: n = 5 \) · \( k = 1: n = 77 \) (două cifre) · \( k = 2: n = 149 \) (trei cifre ✓)
\( 149 - 5 = 144 = 8 \times 18 = 12 \times 12 = 18 \times 8 \) ✅
\( 149 = 8 \times 18 + 5 \) ✅ \( 149 = 12 \times 12 + 5 \) ✅ \( 149 = 18 \times 8 + 5 \) ✅
Dacă la 8, 12, 18 restul e mereu 5, atunci \( n - 5 \) e divizibil cu \( \text{cmmmc}(8,12,18) = 72 \).
\( 53 - 5 = 48 < 72 \) → nu poate fi multiplu nenul de 72 (primul multiplu nenul este chiar 72).
\( k=1: 77 \) (prea mic) · \( k=2: 149 \) ✓ — primul cu trei cifre.
\( 8 = 2^3,\ 12 = 2^2 \cdot 3,\ 18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{cmmmc}(8,12,18) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \)