MateExamene

Profesor de Matematică - Elena Micu

Evaluare Națională › Subiectul III.1 › Problema 8

Problema 8 — Subiectul III.1

📄 Descarcă PDF
Problema 8 Algebră Mediu Model 2024

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20% din întreaga sumă, în a doua zi 30% din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei.

2p a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.
3p b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

💡 Indicații

  • a) Calculează ce procent din S reprezintă cheltuiala din ziua 2 (atenție: 30% se aplică la suma rămasă după ziua 1, nu la total).
  • b) Scrie ecuația z1 + z2 + z3 + z4 = S, exprimă fiecare zi în funcție de S și rezolvă ecuația.

✏️ Rezolvare

Notații și cheltuielile pe zile

Fie \( S \) = suma totală cheltuită (lei).

\( z_1 = 20\% \cdot S = \dfrac{S}{5} \)  →  rămâne \( S - \dfrac{S}{5} = \dfrac{4S}{5} \)

\( z_2 = 30\% \cdot \dfrac{4S}{5} = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{4S}{5} = \dfrac{12S}{50} = \dfrac{6S}{25} \)

\( z_3 = z_2 + 20 = \dfrac{6S}{25} + 20 \)  ·  \( z_4 = 44 \) lei

a) Verificăm dacă \( z_2 = \frac{S}{4} \) (2p)

1
Calculăm ce procent din \( S \) reprezintă cheltuiala din ziua 2

\[ z_2 = 30\% \cdot \frac{4S}{5} = \frac{3}{10} \cdot \frac{4S}{5} = \frac{12S}{50} = \frac{6S}{25} = 24\% \cdot S \]

2
Comparăm cu un sfert din suma totală

Un sfert din \( S \) = \( \dfrac{S}{4} = 25\% \cdot S \)

\( 24\% \cdot S \neq 25\% \cdot S \) pentru orice \( S > 0 \)

Nu: Mihai a cheltuit în ziua 2 exact \( 24\% \) din suma totală, nu un sfert (\( 25\% \)).

b) Determinăm suma totală \( S \) (3p)

1
Scriem ecuația: suma cheltuielilor pe cele 4 zile = \( S \)

\[ z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = S \] \[ \frac{S}{5} + \frac{6S}{25} + \left(\frac{6S}{25} + 20\right) + 44 = S \]

2
Grupăm termenii cu \( S \) (aducem la numitor comun 25)

\[ \frac{5S}{25} + \frac{6S}{25} + \frac{6S}{25} + 64 = S \implies \frac{17S}{25} + 64 = S \]

3
Rezolvăm ecuația

\[ 64 = S - \frac{17S}{25} = \frac{8S}{25} \implies S = \frac{64 \times 25}{8} = \boxed{200 \text{ lei}} \]

4
Verificare (pentru \( S = 200 \) lei)

\( z_1 = 40 \) lei  ·  \( z_2 = 48 \) lei  ·  \( z_3 = 48 + 20 = 68 \) lei  ·  \( z_4 = 44 \) lei

\( 40 + 48 + 68 + 44 = 200 \) ✅

Mihai a cheltuit în total \( S = \mathbf{200} \) lei în cele patru zile.

💡 Strategii pentru probleme cu cheltuieli în procente

💡
30% din suma rămasă ≠ 30% din suma totală

\( z_2 = 30\% \cdot \frac{4S}{5} = 24\% \cdot S \) — procentul se aplică la ce a rămas, nu la total.

💡
La a) — calculezi \( z_2 \) ca procent din \( S \) și compari cu \( \frac{1}{4} = 25\% \)

\( 24\% \neq 25\% \) → indiferent de valoarea lui \( S \), ziua 2 nu e un sfert.

💡
La b) — scrii ecuația \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = S \) și rezolvi în \( S \)

Aduci fracțiile la numitor comun (25), grupezi termenii cu \( S \) și izolezi.

⚠️
Verificarea finală e obligatorie — calculează fiecare \( z_i \) și suma lor

\( 40 + 48 + 68 + 44 = 200 \) — confirmă că \( S = 200 \) lei este corect.

← Problema anterioară 📋 Lista problemelor Problema următoare →