Profesor de Matematică - Elena Micu
Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte 7, de câte 14, respectiv de câte 21, îi rămân de fiecare dată 5 bomboane.
Fie \( n \) = numărul de bomboane din pungă.
Condiție: \( n \) împărțit la 7, la 14 și la 21 dă restul 5 de fiecare dată.
Echivalent: \( n - 5 \) este divizibil cu 7, cu 14 și cu 21.
\( 61 = 21 \times 2 + 19 \)
Restul la împărțirea lui 61 prin 21 este 19, nu 5.
\[ 7 = 7 \quad|\quad 14 = 2 \cdot 7 \quad|\quad 21 = 3 \cdot 7 \] \[ \text{cmmmc}(7, 14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \]
Deci \( n - 5 \) este multiplu de 42, adică \( n = 42k + 5 \), cu \( k \in \mathbb{N} \).
Cel mai mic număr de trei cifre este 100. Căutăm cel mai mic \(k\) cu \( 42k + 5 \geq 100 \):
\[ 42k \geq 95 \implies k \geq \frac{95}{42} \approx 2{,}26 \implies k = 3 \] \[ n = 42 \times 3 + 5 = 126 + 5 = \boxed{131} \]
\( 131 \div 7 = 18 \) rest \( 5 \) ✅
\( 131 \div 14 = 9 \) rest \( 5 \) ✅
\( 131 \div 21 = 6 \) rest \( 5 \) ✅
Calculezi \(61 \div 21\) și obții restul 19 ≠ 5 → imposibil. Nu ai nevoie de cmmmc.
\(n - 5\) este divizibil cu 7, 14 și 21 → cu \(\text{cmmmc}(7, 14, 21) = 42\).
Valorile posibile: 5, 47, 89, 131, 173, ... Cel mai mic număr de trei cifre este 131 (pentru \(k = 3\)).
Un număr de forma \(42k + 5\) este automat verificat pentru toți divizorii, dar e bine să confirmi explicit.