G2.6 — Prismă Dreaptă
În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\). Se știe că \(BC = 4\text{ cm}\) și \(BB' = 3\text{ cm}\). Lungimea diagonalei \(B'C\) este egală cu:
a) \(3\text{ cm}\) b) \(4\text{ cm}\) c) \(5\text{ cm}\) d) \(7\text{ cm}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Într-o prismă dreaptă, fiecare muchie laterală (de exemplu \(BB'\)) este perpendiculară pe planul bazei. Prin urmare, \(BB' \perp BC\) și \(BB' \perp BA\).
Fața laterală \(BB'C'C\) este un dreptunghi cu laturile \(BB' = 3\text{ cm}\) și \(BC = 4\text{ cm}\). Segmentul \(B'C\) este diagonala acestui dreptunghi.
Într-un triunghi dreptunghic cu catetele \(a\) și \(b\) și ipotenuza \(c\):
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Triunghiul \(B'BC\) este dreptunghic în \(B\) (deoarece \(BB' \perp BC\)), deci \(B'C\) este ipotenuzа.
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\): \(BC = 4\text{ cm}\), \(BB' = 3\text{ cm}\)
Deoarece prisma este dreaptă: \(BB' \perp \text{planul}(ABC)\), deci \(BB' \perp BC\).
Calculul diagonalei B'C
Deoarece \(BB' \perp BC\), triunghiul \(B'BC\) este dreptunghic în \(B\), cu:
— cateta \(BB' = 3\text{ cm}\)
— cateta \(BC = 4\text{ cm}\)
— ipotenuza \(B'C\) — valoarea căutată
\(B'C^2 = BB'^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(B'C = \sqrt{25} = 5\text{ cm}\)