G2.5 — Diametru și Coarde Paralele
În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și diametru \(AB\). Punctele \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele și măsura unghiului \(\measuredangle BOC\) este egală cu \(60^\circ\). Măsura unghiului \(\measuredangle BAD\) este egală cu:
a) \(30^\circ\) b) \(60^\circ\) c) \(90^\circ\) d) \(120^\circ\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului pe care îl interceptează:
\[ m(\measuredangle BOC) = m(\overset{\frown}{BC}) \]
Dacă \(AB \parallel CD\), atunci arcele cuprinse între capetele coardelor de aceeași parte sunt congruente:
\[ m(\overset{\frown}{AD}) = m(\overset{\frown}{BC}) \]
Dacă \(AB\) este diametru, arcul semicercului care conține pe \(D\) și \(C\) este \(180^\circ\):
\[ m(\overset{\frown}{AD}) + m(\overset{\frown}{DC}) + m(\overset{\frown}{CB}) = 180^\circ \]
Măsura unui unghi inscris este jumătate din măsura arcului interceptat:
\[ m(\measuredangle BAD) = \frac{m(\overset{\frown}{BD})}{2} \quad \text{(arcul mic } \overset{\frown}{BD}\text{)} \]
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Cerc cu centrul \(O\), diametrul \(AB\), punctele \(C\) și \(D\) pe cerc, \(AB \parallel CD\).
\(m(\measuredangle BOC) = 60^\circ\)
Determinarea arcelor și a unghiului
\(\measuredangle BOC = 60^\circ\) este unghi la centru \(\Rightarrow m(\overset{\frown}{BC}) = 60^\circ\)
Deoarece \(AB \parallel CD\):
\(m(\overset{\frown}{AD}) = m(\overset{\frown}{BC}) = 60^\circ\)
\(AB\) diametru \(\Rightarrow\) semicercul care conține \(D\) și \(C\) are \(180^\circ\):
\(m(\overset{\frown}{AD}) + m(\overset{\frown}{DC}) + m(\overset{\frown}{CB}) = 180^\circ\)
\(60^\circ + m(\overset{\frown}{DC}) + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\overset{\frown}{DC}) = 60^\circ\)
\(m(\overset{\frown}{BD}) = m(\overset{\frown}{BC}) + m(\overset{\frown}{CD}) = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\)
\(m(\measuredangle BAD) = \dfrac{m(\overset{\frown}{BD})}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ\)