G2.4 — Pătrat și Drepte Secante
În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 4\text{ cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(BC\). Dreapta \(AM\) intersectează prelungirea laturii \(DC\) în punctul \(P\). Aria triunghiului \(ABP\) este egală cu:
a) \(4\text{ cm}^2\) b) \(6\text{ cm}^2\) c) \(8\text{ cm}^2\) d) \(12\text{ cm}^2\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Într-un pătrat \(ABCD\) cu latura \(a\): toate laturile sunt congruente (\(AB = BC = CD = DA = a\)) și toate unghiurile sunt drepte (\(90^\circ\)).
Dacă în triunghiurile \(ABM\) și \(PCM\) avem \(m(\measuredangle ABM) = m(\measuredangle PCM)\), \(BM = CM\) și \(m(\measuredangle AMB) = m(\measuredangle PMC)\), atunci \(\triangle ABM \equiv \triangle PCM\) (criteriu ULU).
Consecință: laturile corespunzătoare sunt congruente — în particular \(CP = AB\).
Aria unui triunghi cu baza \(b\) și înălțimea \(h\) corespunzătoare este:
\[ \mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2} \]
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Pătrat \(ABCD\) cu latura \(AB = 4\text{ cm}\). \(M\) — mijlocul lui \(BC\), deci \(BM = MC = 2\text{ cm}\).
Dreapta \(AM\) extinsă intersectează prelungirea lui \(DC\) în punctul \(P\).
Demonstrarea că CP = AB = 4 cm
Deoarece \(ABCD\) este pătrat, \(AB \parallel DC\). Cum \(P\) este pe prelungirea lui \(DC\), rezultă că \(AB \parallel CP\).
\(AB \parallel CP\) și \(BC\) este secantă, deci \(m(\measuredangle ABM) = m(\measuredangle PCM)\) (unghiuri alterne interne).
\(m(\measuredangle AMB) = m(\measuredangle PMC)\) (unghiuri opuse la vârf).
În \(\triangle ABM\) și \(\triangle PCM\): \(m(\measuredangle ABM) = m(\measuredangle PCM)\), \(BM = CM = 2\text{ cm}\), \(m(\measuredangle AMB) = m(\measuredangle PMC)\).
\(\Rightarrow \triangle ABM \equiv \triangle PCM\) (ULU) \(\Rightarrow CP = AB = 4\text{ cm}\).
Calculul ariei triunghiului ABP
Baza \(AB = 4\text{ cm}\). Înălțimea de la \(P\) la dreapta \(AB\) este egală cu distanța dintre drepte paralele \(AB\) și \(CP\), adică \(h = AD = 4\text{ cm}\).
\(\mathcal{A}_{ABP} = \dfrac{AB \cdot h}{2} = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8\text{ cm}^2\)