G2.3 — Triunghi Isoscel
În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = AC\) și \(m(\measuredangle BAC) = 36^\circ\). Punctul \(M\) se află pe segmentul \(AC\) astfel încât \(BM = AM\). Măsura unghiului \(\measuredangle MBC\) este egală cu:
a) \(18^\circ\) b) \(36^\circ\) c) \(54^\circ\) d) \(72^\circ\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă \(AB = AC\), atunci unghiurile de la baza \(BC\) sunt egale:
\[ m(\measuredangle ABC) = m(\measuredangle ACB) \]
În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interioare este egală cu \(180^\circ\):
\[ m(\measuredangle A) + m(\measuredangle B) + m(\measuredangle C) = 180^\circ \]
Dacă în triunghiul \(ABM\) latura \(AM\) este congruentă cu latura \(BM\), atunci triunghiul este isoscel cu vârful la \(M\), iar unghiurile de la baza \(AB\) sunt congruente:
\[ m(\measuredangle BAM) = m(\measuredangle ABM) \]
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Triunghiul \(ABC\) isoscel cu \(AB = AC\), \(m(\measuredangle BAC) = 36^\circ\)
Punctul \(M\) pe \(AC\) cu \(AM = BM\)
Determinarea unghiurilor triunghiului ABC
Deoarece \(AB = AC\), triunghiul este isoscel și \(m(\measuredangle ABC) = m(\measuredangle ACB)\). Notez \(m(\measuredangle ABC) = \beta\).
\(36^\circ + \beta + \beta = 180^\circ \Rightarrow 2\beta = 144^\circ \Rightarrow \beta = 72^\circ\)
Deci \(m(\measuredangle ABC) = m(\measuredangle ACB) = 72^\circ\).
Determinarea unghiurilor triunghiului ABM
Deoarece \(AM = BM\), triunghiul \(ABM\) este isoscel cu vârful la \(M\). Prin urmare, unghiurile de la baza \(AB\) sunt congruente:
\(m(\measuredangle BAM) = m(\measuredangle ABM)\)
Dar \(m(\measuredangle BAM) = m(\measuredangle BAC) = 36^\circ\) (deoarece \(M\) este pe \(AC\)).
Deci \(m(\measuredangle ABM) = 36^\circ\).
\(m(\measuredangle MBC) = m(\measuredangle ABC) - m(\measuredangle ABM) = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ\)