G4.6 — Con cu triunghi dreptunghic la vârf

G4.6 Geometrie spațială Mediu Simulare 2023 — Subiectul II

În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic \(VAB\) și raza bazei conului \(AO = 4\text{ cm}\). Generatoarea acestui con are lungimea egală cu:

Con circular drept cu secțiunea axială triunghi dreptunghic VAB, raza AO=4 cm

a) \(4\text{ cm}\) b) \(4\sqrt{2}\text{ cm}\) c) \(8\text{ cm}\) d) \(8\sqrt{2}\text{ cm}\)

📚 Noțiuni teoretice utilizate

Secțiunea axială a unui con circular drept

Secțiunea axială este un triunghi isoscel cu baza egală cu diametrul bazei conului și laturile egale cu generatoarea. Dacă \(\sphericalangle VAB = 90^{\circ}\), secțiunea este triunghi dreptunghic isoscel.

Proprietatea mijlocului ipotenuzei în triunghiul dreptunghic

Dacă \(\sphericalangle AVB = 90^{\circ}\), atunci \(O\) (mijlocul ipotenuzei \(AB\)) este echidistant față de cele trei vârfuri: \(OA = OB = OV = \dfrac{AB}{2}\). Deci \(OV = OA = 4\text{ cm}\).

Generatoarea conului — teorema lui Pitagora

Generatoarea \(VA\) este ipotenusa triunghiului dreptunghic \(VOA\): \(VA = \sqrt{VO^2 + OA^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ cm}\).

✏️ Rezolvare pas cu pas

Date cunoscute

Con circular drept, secțiune axială \(\triangle VAB\) dreptunghic, \(AO = 4\text{ cm}\) (raza bazei)

Calculul generatoarei VA

Determin VO

Triunghiul \(VAB\) este dreptunghic în \(V\) → \(O\) (mijlocul ipotenuzei \(AB\)) satisface \(OV = OA = OB = \dfrac{AB}{2}\)

Deci \(VO = OA = 4\text{ cm}\)

Aplic teorema lui Pitagora în \(\triangle VOA\)

\(\sphericalangle VOA = 90^{\circ}\) (VO este înălțimea conului, OA este raza bazei)

\(VA^2 = VO^2 + OA^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)

\(VA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ cm}\)

✅ Răspunsul corect este b) Generatoarea \(VA = 4\sqrt{2}\text{ cm}\)