G4.5 — Cerc, arc și unghi înscris
În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și diametru \(BC\). Punctul \(A\) aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic \(\overset{\frown}{AC}\) este egală cu \(120^{\circ}\). Măsura unghiului \(\sphericalangle ACB\) este egală cu:
a) \(30^{\circ}\) b) \(60^{\circ}\) c) \(90^{\circ}\) d) \(120^{\circ}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Orice unghi înscris într-un semicerc este drept: \(BC\) este diametru → \(\sphericalangle BAC = 90^{\circ}\).
Suma arcelor \(\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CA} + \overset{\frown}{AB} = 360^{\circ}\). Deoarece \(BC\) este diametru: \(\overset{\frown}{BC} = 180^{\circ}\), iar \(\overset{\frown}{AC} = 120^{\circ}\) → \(\overset{\frown}{AB} = 60^{\circ}\).
Unghiul înscris \(\sphericalangle ACB\) are vârful pe cerc și este subtins de arcul \(\overset{\frown}{AB}\): \(\sphericalangle ACB = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Cerc centru \(O\), diametru \(BC\), \(A\) pe cerc, \(\overset{\frown}{AC} = 120^{\circ}\)
Calculul unghiului ACB
\(BC\) este diametru → \(\overset{\frown}{BC} = 180^{\circ}\)
\(\overset{\frown}{AB} = 360^{\circ} - \overset{\frown}{BC} - \overset{\frown}{AC} = 360^{\circ} - 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\)
\(\sphericalangle ACB\) este unghi înscris subtins de arcul \(\overset{\frown}{AB}\): \(\sphericalangle ACB = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\)