G4.4 — Patrulater înscris în cerc — triunghi isoscel
În figura alăturată este reprezentat patrulaterul \(ABCD\). Dreapta \(AC\) este perpendiculară pe dreapta \(BC\) și dreapta \(AD\) este perpendiculară pe dreapta \(BD\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\) și măsura unghiului \(\sphericalangle DCM\) este egală cu \(40^{\circ}\). Măsura unghiului \(\sphericalangle CMD\) este egală cu:
a) \(80^{\circ}\) b) \(90^{\circ}\) c) \(100^{\circ}\) d) \(120^{\circ}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă \(\sphericalangle ACB = 90^{\circ}\), atunci punctul \(C\) se află pe cercul cu diametru \(AB\). La fel, dacă \(\sphericalangle ADB = 90^{\circ}\), atunci \(D\) aparține aceluiași cerc.
\(M\) este mijlocul segmentului \(AB\) → \(M\) este centrul cercului cu diametru \(AB\) → \(MC = MD = MA = MB\) (raze egale).
Triunghiul \(MCD\) este isoscel (\(MC = MD\)), deci \(\sphericalangle MDC = \sphericalangle DCM = 40^{\circ}\). Atunci \(\sphericalangle CMD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 40^{\circ} = 100^{\circ}\).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(AC \perp BC\), \(AD \perp BD\), \(M\) mijlocul \(AB\), \(\sphericalangle DCM = 40^{\circ}\)
Calculul măsurii unghiului CMD
\(\sphericalangle ACB = 90^{\circ}\) (dat: \(AC \perp BC\)) → \(C\) pe cercul cu diametru \(AB\) (reciproca teoremei lui Thales)
\(\sphericalangle ADB = 90^{\circ}\) (dat: \(AD \perp BD\)) → \(D\) pe același cerc cu diametru \(AB\)
\(M\) este mijlocul diametrului \(AB\) → \(M\) este centrul cercului → \(MC = MD\) (raze ale aceluiași cerc)
\(MC = MD\) → \(\sphericalangle MDC = \sphericalangle DCM = 40^{\circ}\)
\(\sphericalangle CMD = 180^{\circ} - \sphericalangle MDC - \sphericalangle DCM = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 40^{\circ} = 100^{\circ}\)