G4.3 — Triunghi medial — linii mijlocii
În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 12\text{ cm}\), \(BC = 13\text{ cm}\) și \(AC = 7\text{ cm}\). Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(BC\), respectiv \(AC\). Perimetrul triunghiului \(MNP\) este egal cu:
a) \(8\text{ cm}\) b) \(16\text{ cm}\) c) \(18\text{ cm}\) d) \(32\text{ cm}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din aceasta.
\(MN\) (mijloacele lui \(AB\) și \(BC\)) \(= \dfrac{AC}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\text{ cm}\)
\(NP\) (mijloacele lui \(BC\) și \(AC\)) \(= \dfrac{AB}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}\)
\(MP\) (mijloacele lui \(AB\) și \(AC\)) \(= \dfrac{BC}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5\text{ cm}\)
Perimetrul triunghiului medial este egal cu jumătate din perimetrul triunghiului inițial: \(P_{MNP} = \dfrac{P_{ABC}}{2} = \dfrac{12+13+7}{2} = 16\text{ cm}\).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(AB = 12\text{ cm}\), \(BC = 13\text{ cm}\), \(AC = 7\text{ cm}\)
\(M\) mijlocul \(AB\), \(N\) mijlocul \(BC\), \(P\) mijlocul \(AC\)
Calculul perimetrului triunghiului MNP
\(MN\) este linia mijlocie opusă laturii \(AC\): \(MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\text{ cm}\)
\(NP\) este linia mijlocie opusă laturii \(AB\): \(NP = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}\)
\(MP\) este linia mijlocie opusă laturii \(BC\): \(MP = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5\text{ cm}\)
\(P_{MNP} = MN + NP + MP = 3{,}5 + 6 + 6{,}5 = 16\text{ cm}\)