G4.2 — Bisectoare și unghiuri opuse la vârf
În figura alăturată, unghiurile \(\sphericalangle AOC\) și \(\sphericalangle BOD\) sunt opuse la vârf. Măsura unghiului \(\sphericalangle AOC\) este egală cu \(30^{\circ}\), iar semidreapta \(OE\) este bisectoarea unghiului \(\sphericalangle BOC\). Măsura unghiului \(\sphericalangle DOE\) este egală cu:
a) \(75^{\circ}\) b) \(90^{\circ}\) c) \(105^{\circ}\) d) \(150^{\circ}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă două drepte se intersectează, unghiurile opuse la vârf sunt egale: \(\sphericalangle BOD = \sphericalangle AOC = 30^{\circ}\).
Unghiurile \(\sphericalangle AOC\) și \(\sphericalangle BOC\) sunt suplementare (se adună la \(180^{\circ}\)): \(\sphericalangle BOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}\).
Bisectoarea \(OE\) împarte unghiul \(\sphericalangle BOC\) în două unghiuri egale: \(\sphericalangle BOE = \sphericalangle COE = \dfrac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}\).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(\sphericalangle AOC = 30^{\circ}\), \(\sphericalangle AOC\) și \(\sphericalangle BOD\) opuse la vârf, \(OE\) bisectoarea \(\sphericalangle BOC\)
Calculul măsurii unghiului DOE
\(\sphericalangle BOD = \sphericalangle AOC = 30^{\circ}\) (unghiuri opuse la vârf)
\(\sphericalangle BOC = 180^{\circ} - \sphericalangle AOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}\) (unghiuri suplementare pe dreapta \(AB\))
\(OE\) este bisectoarea \(\sphericalangle BOC\), deci \(\sphericalangle BOE = \dfrac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}\)
Semidreapta \(OE\) se află între \(OB\) și \(OC\), deci: \(\sphericalangle DOE = \sphericalangle DOB + \sphericalangle BOE = 30^{\circ} + 75^{\circ} = 105^{\circ}\)