Profesor de Matematică - Elena Micu
MAJORANȚI. MINORANȚI
Fie $A \subset \mathbb{R}$, o mulțime nevidă de numere reale.
DEFINIȚII
a) Numărul real $m$ se numește minorant al mulțimii $A$, dacă $m \leq a$, $(\forall)a \in A$.
b) Numărul real $M$ se numește majorant al mulțimii $A$, dacă $a \leq M$, $(\forall)a \in A$.
DEFINIȚII
a) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ se numește minorată sau mărginită inferior dacă are cel puțin un minorant.
b) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ se numește majorată sau mărginită superior dacă are cel puțin un majorant.
c) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ se numește mărginită dacă este mărginită inferior și mărginită superior.
TEOREMA 2
Mulțimea $A \subset \mathbb{R}$ este mulțime mărginită dacă și numai dacă există $M \in (0, +\infty)$, astfel încât:
$|x| \leq M, \quad (\forall)x \in A.$
Demonstrație
Implicația inversă. Dacă $|x| \leq M$, $(\forall)x \in A$, atunci $-M \leq x \leq M$, $(\forall)x \in A$, deci $-M$ este minorant pentru $A$, iar $M$ este majorant pentru $A$. Așadar, mulțimea $A$ este mulțime mărginită.
Implicația directă. Mulțimea $A \subset \mathbb{R}$ este mulțime mărginită. Deci există $a, b \in \mathbb{R}$, astfel încât $a \leq x \leq b$, $(\forall)x \in A$. Luând $M = \max\{|a|, |b|\}$ se obține că $|x| \leq M$, $(\forall)x \in A$.
DEFINIȚII
a) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ se numește nemărginită inferior dacă nu are nici un minorant.
b) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ se numește nemărginită superior dacă nu are nici un majorant.
Exemple
1) Mulțimea $\mathbb{N}$ este nemărginită superior.
2) Mulțimile $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ sunt nemărginite atât superior, cât și inferior.
OBSERVAȚII
1) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ este nemărginită superior dacă, pentru oricare $x \in \mathbb{R}$, există cel puțin un element $a \in A$, astfel încât $x < a$.
2) O mulțime $A \subset \mathbb{R}$ este nemărginită inferior dacă pentru oricare număr real $x \in \mathbb{R}$, există cel puțin un element $a \in A$, astfel încât $a < x$.
MARGINILE UNEI MULȚIMI DE NUMERE REALE
Fie $A \subset \mathbb{R}$, o mulțime nevidă.
DEFINIȚII
a) Numărul real $m$ se numește margine inferioară a mulțimii $A \subset \mathbb{R}$, dacă este minorant al mulțimii $A$ și este cel mai mare minorant al mulțimii $A$.
b) Numărul real $M$ se numește margine superioară a mulțimii $A \subset \mathbb{R}$, dacă este majorant al mulțimii $A$ și este cel mai mic majorant al mulțimii $A$.
Marginea inferioară a mulțimii $A$ se notează $\inf A$, iar marginea superioară a mulțimii $A$ se notează $\sup A$.
Axioma marginii superioare (sau axioma lui Cantor):
Orice submulțime nevidă și majorată a lui $\mathbb{R}$ admite margine superioară.
Observații
1) $\mathbb{Q}$ nu verifică axioma lui Cantor.
2) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
3) Notăm $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} - \{0\}$, $\mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$, $\mathbb{R}_- = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}$.
CARACTERIZĂRI ALE MARGINII SUPERIOARE (RESPECTIV INFERIOARE)
Propoziția 1 (caracterizarea marginii superioare)
Fie $A \subset \mathbb{R}$, o mulțime nevidă și majorată. Un număr $\alpha \in \mathbb{R}$ este marginea superioară a mulțimii $A$ ($\alpha = \sup A$) dacă și numai dacă îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente:
1. Definiția directă: $\alpha$ este cel mai mic majorant.
2. Caracterizarea geometrică:
(i) $\forall a \in A$, $a \leq \alpha$ ($\alpha$ este majorant)
(ii) $\forall \alpha' \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că $(\forall a \in A, a \leq \alpha') \Rightarrow \alpha \leq \alpha'$ (orice alt majorant este mai mare sau egal)
3. Caracterizarea cu $\varepsilon$ (Topologică):
(i) $\forall a \in A$, $a \leq \alpha$ (niciun element din $A$ nu trece de $\alpha$)
(ii) $\forall \varepsilon > 0$, $\exists a_\varepsilon \in A$ astfel încât $\alpha - \varepsilon < a_\varepsilon$ (oricât de puțin ne-am retrage la stânga lui $\alpha$, „prindem" cel puțin un element din mulțime)
Observații
1) $\varepsilon$ (se citește „epsilon") este de obicei ales un număr pozitiv.
2) $\alpha$ este un număr real ce poate sau nu să aparțină mulțimii $A$. Dacă $\alpha \in A$, atunci $\alpha = \max A$.
Exemple
1) $A = (-\infty, 17)$ este mulțime majorată și $\sup A = 17$.
2) $B = (5, 10]$ este mulțime majorată și $\sup B = \max B = 10$.
3) $C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2\}$ este mulțime majorată și $\sup C = \sqrt{2}$.
4) $D = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$ este mulțime majorată, dar nu admite margine superioară în $\mathbb{Q}$.
Propoziția 2 (Caracterizarea marginii inferioare)
Fie $B \subset \mathbb{R}$, o mulțime nevidă și minorată. Un număr $\beta \in \mathbb{R}$ este marginea inferioară a mulțimii $B$ ($\beta = \inf B$) dacă și numai dacă îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente:
1. Definiția directă: $\beta$ este cel mai mare minorant.
2. Caracterizarea geometrică:
(i) $\forall b \in B$, $\beta \leq b$ ($\beta$ este minorant)
(ii) $\forall \beta' \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că $(\forall b \in B, \beta' \leq b) \Rightarrow \beta' \leq \beta$ (orice alt minorant este mai mic sau egal)
3. Caracterizarea cu $\varepsilon$ (Topologică):
(i) $\forall b \in B$, $\beta \leq b$ (niciun element din $B$ nu coboară sub $\beta$)
(ii) $\forall \varepsilon > 0$, $\exists b_\varepsilon \in B$ astfel încât $b_\varepsilon < \beta + \varepsilon$ (oricât de puțin ne-am deplasa la dreapta lui $\beta$, „prindem" cel puțin un element din mulțime)
Observație
$\beta$ este un număr real ce poate sau nu să aparțină mulțimii $B$. Dacă $\beta \in B$, atunci $\boldsymbol{\beta} = \mathbf{min}\,B$.
Exemple
1) $B = (0, 1)$ este mulțime minorată și $\inf B = 0$.
2) $C = \left[-\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$ este mulțime minorată și $\inf C = \min C = -\dfrac{1}{2}$.
3) $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 5\}$ este mulțime minorată și $\inf D = -\sqrt{5}$.
4) $E = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 5\}$ este mulțime minorată, dar nu admite margine inferioară în $\mathbb{Q}$.
EXISTENȚA ȘI UNICITATEA MARGINILOR
Se pune întrebarea dacă orice mulțime minorată și nevidă a lui $\mathbb{R}$ admite margine inferioară. Răspunsul este pozitiv și este dat de următoarea:
Teoremă
Dacă $A \subset \mathbb{R}$ este nevidă și minorată, atunci există $\inf A$.
Demonstrație
$A$ este minorată $\Rightarrow$ $(\exists)m \in \mathbb{R}$ astfel încât $m \leq a$, $(\forall)a \in A$ $\Rightarrow$ $-a \leq -m$, $(\forall)a \in A$.
Notăm $-A = \{-a \mid a \in A\}$ și obținem $a \leq -m$, $(\forall)a \in (-A)$. Rezultă că mulțimea $(-A)$ este majorată.
Aplicând axioma marginii superioare, există $\alpha = \sup(-A)$.
Arătăm că $\inf A = -\alpha$: $(\forall)a \in (-A) \Rightarrow -\alpha \leq a$, $(\forall)a \in A$, adică $(-\alpha)$ este minorant al mulțimii $A$.
Presupunem că $(\exists)\beta \in \mathbb{R}$ astfel încât $-\alpha < \beta \leq a$, $\forall a \in A$ (adică $-\alpha$ nu este cel mai mare minorant) $\Rightarrow$ $-a \leq -\beta < \alpha$, $\forall a \in A$ $\Rightarrow$ $a \leq -\beta < \alpha$, $\forall a \in (-A)$.
Am ajuns la contradicție deoarece $(-\beta)$ este un majorant mai mic decât $\alpha$ al mulțimii $(-A)$, iar $\alpha$ era cel mai mic majorant, fiind $\sup(-A)$.
Deci $\inf A = -\alpha = -\sup(-A)$.
Consecință
Dacă $A \subset \mathbb{R}$ este nevidă și mărginită, atunci $(\exists)\inf A$ și $(\exists)\sup A$.
Observație
Dacă marginile unei mulțimi există, acestea sunt unice. Într-adevăr, dacă $m_1, m_2 \in \mathbb{R}$ sunt marginile inferioare ale mulțimii $A \subset \mathbb{R}$, din relațiile $m_1 < m_2$ sau $m_2 < m_1$ s-ar contrazice faptul că $m_1$ și $m_2$ ar fi cei mai mari minoranți ai mulțimii $A$. Așadar, dacă există, $\inf A$ este unică. Analog se arată faptul că $\sup A$ este unică.
Exemplu
$A = (-2, +\infty)$ este minorată. $(-A) = (-\infty, 2)$ și $\sup(-A) = 2$. Deci $\inf A = -\sup(-A) = -2$.
TEOREMA LUI ARHIMEDE
Teorema lui Arhimede
$(\forall)\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ cu $\alpha < \beta$, $(\exists)n \in \mathbb{N}^*$ astfel încât $\alpha < n\beta$.
📄 Observație — Teorema lui Arhimede (PDF)
Demonstrație
Dacă $\alpha \leq 0$, considerăm $n = 1$ și inegalitatea este verificată.
Dacă $\alpha > 0$, presupunem că nu are loc concluzia, adică $(\forall)n \in \mathbb{N}^*$, $n\beta \leq \alpha$. Definim mulțimea $A = \{n\beta \mid n \in \mathbb{N}^*\} \subset \mathbb{R}$, care este nevidă și majorată de $\alpha$.
Aplicând axioma marginii superioare, rezultă că $(\exists)\sup A = a$:
$n\beta \leq a,\; (\forall)n \in \mathbb{N}^* \;\Rightarrow\; (n+1)\cdot\beta \leq a,\; (\forall)n \in \mathbb{N}^* \;\Rightarrow\; n\beta \leq a - \beta < a,\; (\forall)n \in \mathbb{N}^*,$
contradicție, căci $a$ este cel mai mic majorant al mulțimii $A$. Cum presupunerea făcută este falsă, rezultă afirmația.
Observații
1. Interpretarea geometrică a teoremei: cu un segment de lungime $\beta$ (oricât de mic) putem acoperi orice segment de lungime $\alpha$ (oricât de mare).
2. Pentru $\beta = 1$ teorema devine: $(\forall)\alpha \in \mathbb{R}$, $(\exists)n \in \mathbb{N}^*$ astfel încât $\alpha < n$.
3. Din observația 2. și teorema de bună ordonare a lui $\mathbb{N}$ (orice submulțime nevidă a lui $\mathbb{N}$ admite un cel mai mic element) rezultă existența funcției partea întreagă.
Exercițiu rezolvat
Fie mulțimea $A = \left\{\dfrac{1}{n} \;\Big|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}$. Să se determine $\inf A$.
Soluție. Reprezentăm câteva elemente ale mulțimii $A$ pe axa reală: $1,\; \dfrac{1}{2},\; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4},\;\ldots$ Intuim că $\inf A = 0$.
$0 \leq \dfrac{1}{n}$, $(\forall)n \in \mathbb{N}^*$, deci $0$ este minorant al mulțimii $A$. Presupunem că $0$ nu este cel mai mare minorant.
Fie $\varepsilon = \inf A$, unde $\varepsilon > 0$. Rezultă $\varepsilon \leq \dfrac{1}{n}$, $(\forall)n \geq 1$, echivalent cu $n \leq \dfrac{1}{\varepsilon}$, $(\forall)n \geq 1$, contradicție cu teorema lui Arhimede (pentru $\alpha = \dfrac{1}{\varepsilon}$ și $\beta = 1$ există $n \in \mathbb{N}^*$ cu $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$). Deci $\inf A = 0$.
TEOREMA DE DENSITATE A LUI $\mathbb{Q}$ ÎN $\mathbb{R}$
Teorema de densitate a lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$
$(\forall)\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha < \beta$, $(\exists)q \in \mathbb{Q}$, astfel încât $\alpha < q < \beta$.
Consecințe
1. Între oricare două numere reale există o infinitate de numere raționale.
2. $(\forall)\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha < \beta$, $(\exists)x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ astfel încât $\alpha < x < \beta$ (între oricare două numere reale există o infinitate de numere iraționale).
Demonstrație (consecința 2)
Aplicăm teorema de densitate: $(\exists)q_1, q_2 \in \mathbb{Q}$ astfel încât $\alpha < q_1 < q_2 < \beta$.
Definim numărul $x = q_1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}(q_2 - q_1) \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ și observăm că $q_1 < x < q_2$; rezultă $\alpha < x < \beta$.
MARGINILE UNEI MULȚIMI NEMĂRGINITE. DREAPTA REALĂ ÎNCHEIATĂ
Pentru o abordare unitară a rezultatelor de analiză matematică, pe lângă numerele reale se folosesc simbolurile $+\infty$ (plus infinit), respectiv $-\infty$ (minus infinit), numite numere infinite.
Mulțimea formată din mulțimea numerelor reale împreună cu numerele infinite $+\infty$ și $-\infty$ se numește dreapta reală încheiată și se notează $\overline{\mathbb{R}}$. Așadar $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$.
Dacă $A \subset \mathbb{R}$ este o mulțime nemărginită inferior, atunci ea nu are nici un minorant număr real. În acest caz vom considera că $\inf A = -\infty$.
Analog, dacă mulțimea $A \subset \mathbb{R}$ este nemărginită superior, vom considera că $\sup A = +\infty$.
OBSERVAȚII
1) Au loc:
$\sup(\mathbb{N}) = +\infty$
$\inf(\mathbb{Z}) = -\infty$, $\;\sup(\mathbb{Z}) = +\infty$
$\inf(\mathbb{Q}) = -\infty$, $\;\sup(\mathbb{Q}) = +\infty$
$\inf(\mathbb{R}) = -\infty$, $\;\sup(\mathbb{R}) = +\infty$.
2) Referitor la simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ se acceptă următoarele reguli de calcul:
$a + (+\infty) = +\infty$ și $(+\infty) + a = +\infty$, $(\forall)a \in \mathbb{R}$;
$a + (-\infty) = -\infty$ și $(-\infty) + a = -\infty$, $(\forall)a \in \mathbb{R}$;
$(+\infty) + (+\infty) = +\infty$ și $(-\infty) + (-\infty) = -\infty$;
$a \cdot (+\infty) = \begin{cases} +\infty, & \text{dacă } a > 0 \\ -\infty, & \text{dacă } a < 0 \end{cases}$
$a \cdot (-\infty) = \begin{cases} -\infty, & \text{dacă } a > 0 \\ +\infty, & \text{dacă } a < 0 \end{cases}$
$(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$; $(-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty$; $(+\infty) \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$;
$\dfrac{a}{+\infty} = 0$ și $\dfrac{a}{-\infty} = 0$, $(\forall)a \in \mathbb{R}$;
$(+\infty)^{+\infty} = +\infty$; $(+\infty)^{-\infty} = 0$.
Referitor la relațiile de ordine se acceptă că: $-\infty < +\infty$; $a < +\infty$ și $-\infty < a$, $(\forall)a \in \mathbb{R}$.
Nu se atribuie nici un sens expresiilor:
$(+\infty) - (+\infty)$; $\;(-\infty) - (-\infty)$; $\;0 \cdot (\pm\infty)$; $\;\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$; $\;1^{+\infty}$; $\;1^{-\infty}$; $\;(\pm\infty)^0$.
Bibliografie