FIȘA 1: FUNCȚII POLINOMIALE
Nume și prenume elev: Data: Clasa:
Definiții. Se numește funcție polinomială funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, $a_i \in \mathbb{R}$, $a_n \neq 0$.
Numărul natural $n$ se numește gradul funcției polinomiale și se notează $\operatorname{gr} f = n$.
Numerele $a_i$ se numesc coeficienții funcției, $a_n x^n$ se numește termenul dominant, $a_n$ coeficientul dominant, iar $a_0$ termenul liber.
Observații.
- Funcțiile sumă și produs a două funcții polinomiale sunt funcții polinomiale, deoarece se obțin din adunarea și înmulțirea termenilor de forma $a_i x^i$ și $b_j x^j$.
- Dacă $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sunt funcții polinomiale, atunci $\operatorname{gr}(f + g) \leq \max(\operatorname{gr} f, \operatorname{gr} g)$ (termenii dominanți se reduc, dacă coeficienții dominanți sunt numere reale opuse) și $\operatorname{gr}(f \cdot g) = \operatorname{gr} f + \operatorname{gr} g$.
- Funcția polinomială nulă, $f(x) = 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$, are toți coeficienții nuli, deci nu i se poate atribui un grad în sensul definiției. Prin convenție, polinomul nul are gradul $-\infty$. Cu această convenție, relațiile de la observația precedentă rămân adevărate în toate cazurile.
În prezentul paragraf vom reaminti mai detaliat funcțiile polinomiale studiate în clasele anterioare, adică cele de gradul $0$, $1$ respectiv $2$, urmând ca în capitolele ulterioare să le putem studia și pe cele de grad mai mare cu mijloacele analizei matematice.
Funcția polinomială de grad 0
Funcția polinomială de grad $0$ este de fapt funcția constantă, cu graficul o dreaptă paralelă cu axa $Ox$. (vezi mai jos)
Funcția polinomială de grad 1
Funcția polinomială de grad $1$ este de forma $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$, $a, b \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$. Știm din clasele anterioare că pentru $a < 0$ funcția este strict descrescătoare, este pozitivă pe intervalul $\left(-\infty, -\dfrac{b}{a}\right)$ și negativă pe $\left(-\dfrac{b}{a}, +\infty\right)$, iar pentru $a > 0$ este strict crescătoare, negativă pe intervalul $\left(-\infty, -\dfrac{b}{a}\right)$ și pozitivă pe $\left(-\dfrac{b}{a}, +\infty\right)$. $x = -\dfrac{b}{a}$ este rădăcina funcției în ambele cazuri. Graficul funcției este o dreaptă. (vezi mai jos)
Funcția polinomială de gradul doi
Funcția polinomială de gradul doi este de forma $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$.
Graficul funcției este o parabolă concavă pentru $a < 0$ și convexă pentru $a > 0$.
Dacă discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac > 0$, atunci parabola intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte $\left(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right)$ și $\left(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right)$. Dacă $\Delta = 0$, parabola este tangentă la axa $Ox$ în punctul $\left(-\dfrac{b}{2a}, 0\right)$. Dacă $\Delta < 0$ atunci parabola nu intersectează axa $Ox$.
Pentru $a < 0$ funcția este strict crescătoare pe $\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right)$ și strict descrescătoare pe $\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)$. Pentru $a > 0$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right)$ și strict crescătoare pe $\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)$. Dreapta $x = -\dfrac{b}{2a}$ este axă de simetrie a parabolei.
Vârful parabolei este punctul $V\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, care este punct de minim al funcției pentru $a > 0$, respectiv punct de maxim pentru $a < 0$.
Semnul funcției pentru $\Delta < 0$ este același cu semnul lui $a$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
Dacă $\Delta = 0$, atunci pentru $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$ funcția ia valoarea $0$, iar în celelalte numere reale are același semn cu semnul lui $a$.
Dacă $\Delta > 0$, atunci în $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ia valoarea $0$, între rădăcini are semnul opus lui $a$, iar în afara rădăcinilor are același semn cu semnul lui $a$.
Observație. Se poate demonstra că punctele graficului funcției $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax^2 + bx + c$ sunt la aceeași distanță de punctul $F\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta + 1}{4a}\right)$ și dreapta $y = -\dfrac{\Delta - 1}{4a}$. Punctul $F$ se numește focarul parabolei, iar dreapta $y = -\dfrac{\Delta - 1}{4a}$ se numește dreapta directoare a parabolei.
Proprietățile funcției de gradul doi, respectiv graficele, sunt schițate pentru fiecare caz în parte în următorul tabel:
|
$\Delta < 0$ ($x_{1,2} \notin \mathbb{R}$) |
$\Delta = 0$ ($x_1 = x_2 \in \mathbb{R}$) |
$\Delta > 0$ ($x_{1,2} \in \mathbb{R}$, $x_1 \neq x_2$) |
| $a < 0$ |
| $x$ | $-\infty$ | $-\dfrac{b}{2a}$ | $+\infty$ |
| $f(x)$ | $-\ -\ -$ | $-$ | $-\ -\ -$ |
| $f$ | ↗ ↗ ↗ | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ | ↘ ↘ ↘ |
|
| $x$ | $-\infty$ | $x_{1,2} = -\dfrac{b}{2a}$ | $+\infty$ |
| $f(x)$ | $-\ -\ -$ | $0$ | $-\ -\ -$ |
| $f$ | ↗ ↗ ↗ | $0$ | ↘ ↘ ↘ |
|
| $x$ | $-\infty \quad x_1$ | $-\dfrac{b}{2a}$ | $x_2 \quad +\infty$ |
| $f(x)$ | $-\ -\ 0\ +$ | $+$ | $+\ 0\ -\ -$ |
| $f$ | ↗ ↗ ↗ | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ | ↘ ↘ ↘ |
|
| $a > 0$ |
| $x$ | $-\infty$ | $-\dfrac{b}{2a}$ | $+\infty$ |
| $f(x)$ | $+\ +\ +$ | $+$ | $+\ +\ +$ |
| $f$ | ↘ ↘ ↘ | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ | ↗ ↗ ↗ |
|
| $x$ | $-\infty$ | $x_{1,2} = -\dfrac{b}{2a}$ | $+\infty$ |
| $f(x)$ | $+\ +\ +$ | $0$ | $+\ +\ +$ |
| $f$ | ↘ ↘ ↘ | $0$ | ↗ ↗ ↗ |
|
| $x$ | $-\infty \quad x_1$ | $-\dfrac{b}{2a}$ | $x_2 \quad +\infty$ |
| $f(x)$ | $+\ +\ 0\ -$ | $-$ | $-\ 0\ +\ +$ |
| $f$ | ↘ ↘ ↘ | $-\dfrac{\Delta}{4a}$ | ↗ ↗ ↗ |
|
În următoarele figuri sunt schițate graficele unor funcții polinomiale de grad mai mare.
($f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 1$)
Rădăcinile unei funcții polinomiale
Știm din clasele anterioare că dacă $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ sunt rădăcinile funcției de gradul doi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$), atunci funcția se poate scrie în forma $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, iar dacă în plus $x_1 = x_2$, atunci spunem că $x_1$ este rădăcină dublă și $f(x) = a(x - x_1)^2$. De asemenea, pentru funcția de gradul întâi $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = ax + b$ ($a, b \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$), avem $g(x) = a\left(x + \dfrac{b}{a}\right) = a(x - x_1)$, unde $x_1 = -\dfrac{b}{a}$ este rădăcina funcției.
Să studiem dacă avem asemenea proprietăți și pentru funcțiile polinomiale de grad mai mare.
Dacă $x_1 \in \mathbb{R}$ este rădăcina funcției $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$, atunci avem $f(x_1) = 0$, deci
$f(x) = f(x) - f(x_1) = a_n\left(x^n - x_1^{\,n}\right) + a_{n-1}\left(x^{n-1} - x_1^{\,n-1}\right) + \ldots + a_1(x - x_1) =$
$= a_n (x - x_1)\left(x^{n-1} + x_1 x^{n-2} + \ldots + x_1^{\,n-1}\right) + a_{n-1}(x - x_1)\left(x^{n-2} + x_1 x^{n-3} + \ldots + x_1^{\,n-2}\right) + \ldots$
$\ldots + a_1 (x - x_1) = (x - x_1)\, g(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$,
unde $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o funcție polinomială de grad $n - 1$. Reciproc, dacă funcția polinomială $f$ se poate scrie sub forma $f(x) = (x - x_1)\, g(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$ cu $g$ funcție polinomială, atunci $x_1$ evident este rădăcina lui $f$. Deci putem afirma următoarea teoremă:
Teoremă. $x_1 \in \mathbb{R}$ este rădăcina funcției polinomiale $f$ de grad $n$, dacă există funcția polinomială $g$ de grad $n - 1$ astfel încât $f(x) = (x - x_1)\, g(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
Observații.
- Teorema precedentă este de fapt Teorema lui Bézout (care se referă la polinoame) în formă funcțională.
- O funcție polinomială de grad $n$ nu poate avea mai mult de $n$ rădăcini.
- Dacă funcția polinomială $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ are $n$ rădăcini distincte ($x_1$, $x_2, \ldots, x_n$), atunci se poate scrie sub forma: $f(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n)$.
- Dacă $x_1$ este rădăcină a funcției polinomiale $f$, $f(x) = (x - x_1) g(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$ și este și rădăcină a funcției polinomiale $g$, $g(x) = (x - x_1) h(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$, dar nu este rădăcină a funcției polinomiale $h$, spunem că $x_1$ este rădăcină dublă a lui $f$. În cazul acesta $f$ se scrie: $f(x) = (x - x_1)^2 h(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
- Analog se poate defini rădăcina multiplă. Spunem că $x_1$ este rădăcină multiplă de ordin $k$ a funcției polinomiale $f$ de grad $n$, dacă există funcția polinomială $g$ de grad $n - k$ astfel încât $f(x) = (x - x_1)^k g(x)$ și $g(x_1) \neq 0$. $k$ se numește ordinul de multiplicitate a rădăcinii $x_1$.
- Dacă $x_1, x_2, \ldots, x_k \in \mathbb{R}$ sunt rădăcini multiplu de ordin $n_1, n_2, \ldots, n_k \in \mathbb{N}$, $n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n$ ale funcției $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$, atunci $f(x) = a_n (x - x_1)^{n_1} (x - x_2)^{n_2} \ldots (x - x_k)^{n_k}$.
Completare: limite, continuitate și derivabilitate
- Domeniul fiind $\mathbb{R}$, capetele sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar comportarea la capete este dată de termenul dominant: $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} a_n x^n$.
- Pentru $n$ par: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ dacă $a_n > 0$, respectiv $-\infty$ dacă $a_n < 0$. Pentru $n$ impar, cele două limite sunt infinite și de semne contrare.
- Graficul unei funcții polinomiale de grad $n \geq 1$ nu admite asimptote orizontale; pentru $n \geq 2$ nu admite nici asimptote oblice, iar asimptote verticale nu există, domeniul fiind $\mathbb{R}$.
- Orice funcție polinomială este continuă pe $\mathbb{R}$, deci $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, pentru orice $x_0 \in \mathbb{R}$.
- Orice funcție polinomială este derivabilă pe $\mathbb{R}$, cu $(f)'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
Bibliografie
- Mihai, I., Maftei, I. V., Pârșan, L., Mihai, A., & Nicolescu, C. P. (2006). Matematică M1: Manual pentru clasa a XI-a. Editura Didactică și Pedagogică.