Observații.

1. Orice funcție polinomială este o funcție rațională, cu $Q(x) = 1$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Reciproca nu este adevărată: funcția $f(x) = \dfrac{1}{x}$ nu este polinomială, domeniul ei nefiind $\mathbb{R}$.
2. Suma, diferența și produsul a două funcții raționale sunt funcții raționale pe intersecția domeniilor, iar câtul este funcție rațională pe mulțimea punctelor în care numitorul nu se anulează.
3. Dacă $P$ și $Q$ au rădăcina comună $x_1$, atunci $P(x) = (x - x_1) P_1(x)$ și $Q(x) = (x - x_1) Q_1(x)$, deci pe domeniul $D$ avem $f(x) = \dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}$. Simplificarea nu schimbă valorile funcției, dar $x_1$ rămâne scos din domeniu.
4. Gradul numărătorului și gradul numitorului hotărăsc comportarea funcției la $\pm\infty$, deci și asimptotele graficului.

Semnul unei funcții raționale

Deoarece $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ și $P(x) \cdot Q(x)$ au același semn pentru orice $x \in D$, semnul funcției raționale se studiază cu tabelul de semn al celor două funcții polinomiale: se trec pe aceeași linie rădăcinile numărătorului și rădăcinile numitorului, se stabilește semnul lui $P$ și semnul lui $Q$ pe fiecare interval, iar semnul lui $f$ este dat de regula semnelor. În rădăcinile numărătorului funcția se anulează, iar rădăcinile numitorului se marchează cu o bară dublă, funcția nefiind definită acolo.

Funcția $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Este cea mai simplă funcție rațională care nu este polinomială. Ea a fost studiată la funcția putere cu exponent întreg negativ: este impară, strict descrescătoare pe $(-\infty, 0)$ și pe $(0, +\infty)$ (dar nu pe tot domeniul), nu se anulează niciodată, iar graficul ei este o hiperbolă echilateră, cu asimptota verticală $x = 0$ și asimptota orizontală $y = 0$. (vezi mai jos)

Funcția homografică

Condiția $ad - bc \neq 0$ este esențială: dacă $ad - bc = 0$, atunci $ax + b$ și $cx + d$ sunt proporționale, iar funcția este constantă pe domeniul ei.

Scriind $f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{bc - ad}{c^2} \cdot \dfrac{1}{x + \dfrac{d}{c}}$, se vede că graficul funcției homografice se obține din hiperbola $y = \dfrac{1}{x}$ printr-o translație și o omotetie. Prin urmare:

1. Graficul este o hiperbolă, cu asimptota verticală $x = -\dfrac{d}{c}$ și asimptota orizontală $y = \dfrac{a}{c}$.
2. Dacă $ad - bc > 0$, funcția este strict crescătoare pe fiecare dintre intervalele $\left(-\infty, -\dfrac{d}{c}\right)$ și $\left(-\dfrac{d}{c}, +\infty\right)$; dacă $ad - bc < 0$, este strict descrescătoare pe fiecare dintre ele. În ambele cazuri monotonia nu se păstrează pe tot domeniul.
3. Graficul intersectează axa $Ox$ în punctul $\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right)$ dacă $a \neq 0$, iar axa $Oy$ în punctul $\left(0, \dfrac{b}{d}\right)$ dacă $d \neq 0$.
4. Funcția $f : \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\} \to \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{a}{c}\right\}$ este bijectivă, iar inversa ei este tot o funcție homografică: $f^{-1}(y) = \dfrac{-dy + b}{cy - a}$.
5. Punctul $C\left(-\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{c}\right)$, adică intersecția celor două asimptote, este centru de simetrie al graficului.

Limite și asimptote

Fie $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$, cu $\operatorname{gr} P = m$ și $\operatorname{gr} Q = n$.

1. Dacă $x_0$ este rădăcină a numitorului, dar nu și a numărătorului, atunci limitele laterale în $x_0$ sunt infinite, deci dreapta $x = x_0$ este asimptotă verticală.
2. La $\pm\infty$, limita se calculează cu termenii dominanți: $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_m x^m}{b_n x^n}$. Astfel:
   • dacă $m < n$, limita este $0$, deci $y = 0$ este asimptotă orizontală la $-\infty$ și la $+\infty$;
   • dacă $m = n$, limita este $\dfrac{a_m}{b_n}$, deci $y = \dfrac{a_m}{b_n}$ este asimptotă orizontală la $-\infty$ și la $+\infty$;
   • dacă $m = n + 1$, graficul admite asimptotă oblică $y = \alpha x + \beta$, dreapta obținută din câtul împărțirii lui $P$ la $Q$;
   • dacă $m > n + 1$, graficul nu admite asimptotă orizontală și nici oblică.

Continuitate și derivabilitate

• Orice funcție rațională este continuă pe domeniul ei de definiție, deci $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, pentru orice $x_0 \in D$.
• Orice funcție rațională este derivabilă pe domeniul ei, cu $(f)'(x) = \dfrac{P'(x) Q(x) - P(x) Q'(x)}{Q^2(x)}$, pentru orice $x \in D$.
• Pentru funcția homografică se obține $(f)'(x) = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$, semnul derivatei fiind semnul lui $ad - bc$ — de aici monotonia pe fiecare interval al domeniului.

Problemă rezolvată

Să se studieze funcția $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$: domeniul, semnul, asimptotele, monotonia și punctele de extrem.

Rezolvare. Numitorul se anulează în $0$, deci $D = \mathbb{R}^*$. Numărătorul este strict pozitiv, deci $f(x)$ are semnul lui $x$: $f(x) < 0$ pe $(-\infty, 0)$ și $f(x) > 0$ pe $(0, +\infty)$, iar funcția nu se anulează niciodată.

Cum $f(-x) = -f(x)$, funcția este impară, deci graficul este simetric față de originea axelor.

Limitele laterale în $0$ sunt $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = -\infty$ și $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = +\infty$, deci $x = 0$ este asimptotă verticală.

Din $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ rezultă $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - x\right] = 0$, deci dreapta $y = x$ este asimptotă oblică la $-\infty$ și la $+\infty$ (gradul numărătorului fiind cu $1$ mai mare decât gradul numitorului).

Derivata este $(f)'(x) = \dfrac{2x \cdot x - (x^2 + 1)}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$, care se anulează în $x = -1$ și $x = 1$.

Prin urmare funcția este strict crescătoare pe $(-\infty, -1]$ și pe $[1, +\infty)$, strict descrescătoare pe $[-1, 0)$ și pe $(0, 1]$, are un maxim local în $x = -1$, cu $f(-1) = -2$, și un minim local în $x = 1$, cu $f(1) = 2$. Graficul este reprezentat mai jos.

Bibliografie

• Mihai, I., Maftei, I. V., Pârșan, L., Mihai, A., & Nicolescu, C. P. (2006). Matematică M1: Manual pentru clasa a XI-a. Editura Didactică și Pedagogică.