Din clasele precedente cunoașteți cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice. Vom reaminti doar cele mai importante proprietăți ale lor, respectiv vom trasa graficul lor.

Cele mai importante proprietăți ale funcției sin : ℝ → ℝ sunt:

1. Este periodică cu perioada principală 2π, astfel sin(x + 2π) = sin x, ∀x ∈ ℝ.
2. Este funcție impară, sin(−x) = −sin x, ∀x ∈ ℝ.
3. Este crescătoare pe intervalele de forma [(4k − 1)π2, (4k + 1)π2] și descrescătoare pe intervalele [(4k + 1)π2, (4k + 3)π2], unde k ∈ ℤ.
4. Este mărginită, −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. În punctele (4k − 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de minim, minimul funcției fiind −1, iar în punctele (4k + 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de maxim, maximul funcției fiind 1.
5. În punctele kπ se anulează, deci sin kπ = 0, k ∈ ℤ.
6. Este convexă pe intervalele [(2k − 1)π, 2kπ] și concavă pe intervalele [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ ℤ).
7. Restricția sin : [−π2, π2] → [−1, 1] este bijectivă.

În figurile de mai jos am trasat graficul funcției sin pe [0, π], [−π, π] și ℝ, bazându-ne pe proprietățile menționate.

Completare: limite la capetele domeniului

• Domeniul fiind ℝ, capetele sunt −∞ și +∞, iar mulțimea punctelor de acumulare este ℝ = ℝ ∪ {−∞, +∞}.
• limx→+∞ sin x nu există: pentru x_n = 2nπ avem sin x_n = 0, iar pentru y_n = π2 + 2nπ avem sin y_n = 1, deci două șiruri care tind la +∞ dau limite diferite.
• La fel, limx→−∞ sin x nu există, funcția fiind periodică și oscilantă între −1 și 1.
• În consecință, graficul nu admite asimptote: nici orizontale, nici oblice, nici verticale.
• În orice punct x₀ ∈ ℝ limita există și este limx→x0 sin x = sin x₀.

Completare: continuitate și derivabilitate

• Funcția sin este continuă pe ℝ: pentru orice x₀ ∈ ℝ, limx→x0 sin x = sin x₀.
• Funcția sin este derivabilă pe ℝ, cu (sin)′(x) = cos x, pentru orice x ∈ ℝ.
• Semnul derivatei confirmă monotonia: cos x > 0 pe intervalele de creștere ((4k − 1)π2, (4k + 1)π2) și cos x < 0 pe intervalele de descreștere.
• În punctele de extrem, adică în (2k + 1)π2, derivata se anulează: cos (2k + 1)π2 = 0.

Bibliografie

• Mihai, I., Maftei, I. V., Pârșan, L., Mihai, A., & Nicolescu, C. P. (2006). Matematică M1: Manual pentru clasa a XI-a. Editura Didactică și Pedagogică.