MateExamene

Profesor de Matematică - Elena Micu

Evaluare Națională › Subiectul III.1 › Problema 6

Problema 6 — Subiectul III.1

📄 Descarcă PDF
Problema 6 Algebră Mediu Rezervă Examen 2025

Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani \( S \). Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui 10 lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria.

2p a) Este posibil ca suma \( S \) să fie egală cu 140 de lei? Justifică răspunsul dat.
3p b) Determină suma \( S \), știind că, dacă Maria i-ar da 15 lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.

💡 Indicații

  • a) Dacă S = 140, scrie ecuația în a și verifică dacă soluția obținută este număr natural.
  • b) Scrie relația lui m în funcție de a din condiția cu cheltuiala, apoi a doua relație din condiția cu transferul de 15 lei. Egalizează-le.

✏️ Rezolvare

Notații și relații

Fie \( a \) = suma lui Alin (lei) și \( m \) = suma Mariei (lei). Ambele sunt numere naturale.

Din enunț: dacă Alin cheltuie 10 lei, îi rămân \( a - 10 \) lei, care este de două ori mai puțin decât are Maria:

\[ a - 10 = \frac{m}{2} \implies m = 2(a - 10) = 2a - 20 \quad (1) \]

a) Verificăm dacă \( S = 140 \) lei este posibil (2p)

1
Exprimăm suma totală folosind relația (1)

\[ S = a + m = a + (2a - 20) = 3a - 20 \]

2
Calculăm \( a \) și verificăm dacă este număr natural

\[ 3a - 20 = 140 \implies 3a = 160 \implies a = \frac{160}{3} \approx 53{,}3 \]

\( a \) nu este număr natural — condiția din enunț nu este respectată.

Nu este posibil: dacă \( S = 140 \), atunci \( a = \dfrac{160}{3} \), care nu este număr natural.

b) Determinăm suma \( S \) (3p)

1
Scriem a doua condiție: dacă Maria dă 15 lei lui Alin → sume egale

\[ a + 15 = m - 15 \implies m = a + 30 \quad (2) \]

2
Egalăm expresiile lui \( m \) din (1) și (2)

\[ 2a - 20 = a + 30 \implies a = 50 \text{ lei} \]

3
Calculăm suma Mariei și suma totală

\[ m = 50 + 30 = 80 \text{ lei} \] \[ S = a + m = 50 + 80 = \boxed{130 \text{ lei}} \]

4
Verificare

(1): \( a - 10 = 40 = \dfrac{m}{2} = \dfrac{80}{2} \) ✅

(2): \( a + 15 = 65 = m - 15 = 65 \) ✅

Suma totală este \( S = \mathbf{130} \) lei (Alin are 50 lei, Maria are 80 lei).

💡 Strategii pentru probleme cu transferuri de bani

💡
„De două ori mai puțin" → \( a - 10 = m/2 \) → exprimi \( m \) în funcție de \( a \)

Suma totală devine \( S = a + m = 3a - 20 \) — o ecuație cu o singură necunoscută.

💡
La verificarea din a) — calculezi \( a \) și verifici dacă e număr natural

Condiția „sumele sunt numere naturale" este esențială. \( a = 160/3 \) nu e natural → imposibil.

💡
„Dacă X îi dă Y lei celuilalt → sume egale" → \( a + Y = m - Y \)

Transferul adaugă \( Y \) la primul și scade \( Y \) din al doilea — nu confunda cu \( a = m \).

⚠️
Nu uita să calculezi \( S = a + m \) la final — cerința este suma totală, nu \( a \) sau \( m \)

Găsești \( a = 50 \) și \( m = 80 \), dar răspunsul cerut este \( S = 130 \) lei.

← Problema anterioară 📋 Lista problemelor Problema următoare →