G1.3 — Triunghi Dreptunghic și Înălțime
În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(C\), cu \(AB = 12\text{ cm}\) și măsura unghiului \(B\) egală cu \(30^\circ\). Proiecția punctului \(C\) pe dreapta \(AB\) este punctul \(D\).
Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu:
a) \(3\text{ cm}\) b) \(2\sqrt{3}\text{ cm}\) c) \(3\sqrt{3}\text{ cm}\) d) \(6\text{ cm}\)
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
Triunghiul \(ABC\): unghi drept în \(C\), ipotenuza \(AB = 12\text{ cm}\), \(\measuredangle B = 30^\circ\)
\(CD \perp AB\), unde \(D\) este piciorul înălțimii din \(C\)
Deducem: \(\measuredangle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)
Metoda 1 — Folosind rapoartele trigonometrice
\(\sin(\measuredangle B) = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6\text{ cm}\)
\(\cos(\measuredangle B) = \dfrac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}\)
Aria triunghiului \(ABC\) poate fi calculată în două feluri:
\(\mathcal{A} = \dfrac{AC \cdot BC}{2} = \dfrac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\text{ cm}^2\)
Dar și: \(\mathcal{A} = \dfrac{AB \cdot CD}{2}\), deci:
\(CD = \dfrac{2\mathcal{A}}{AB} = \dfrac{2 \cdot 18\sqrt{3}}{12} = \dfrac{36\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\)
🔄 Metodă alternativă — Teorema înălțimii
Calculez proiecțiile catetelor pe ipotenuză:
\(AD = \dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{36}{12} = 3\text{ cm}\) și \(DB = \dfrac{BC^2}{AB} = \dfrac{108}{12} = 9\text{ cm}\)
Prin teorema înălțimii: \(CD^2 = AD \cdot DB = 3 \cdot 9 = 27 \Rightarrow CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\) ✅