G1.4 — Paralelogram și Mijloacele Laturilor
În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu aria egală cu \(96\text{ cm}^2\). Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AD\).
Aria triunghiului \(AEF\) este egală cu:
a) \(12\text{ cm}^2\) b) \(24\text{ cm}^2\) c) \(48\text{ cm}^2\) d) \(72\text{ cm}^2\)
✏️ Rezolvare pas cu pas
Notații
Notăm: \(AB = a\), \(AD = b\), \(\measuredangle DAB = \alpha\)
\(E\) mijlocul \(AB\): \(AE = \dfrac{a}{2}\)
\(F\) mijlocul \(AD\): \(AF = \dfrac{b}{2}\)
Aria paralelogramului: \(\mathcal{A}_{ABCD} = a \cdot b \cdot \sin\alpha = 96\text{ cm}^2\)
Calculul ariei triunghiului \(AEF\)
Triunghiul \(AEF\) are laturile \(AE\) și \(AF\) și unghiul \(\alpha\) cuprins între ele:
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot AF \cdot \sin\alpha\)
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \dfrac{1}{8} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha\)
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{1}{8} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{96}{8} = 12\text{ cm}^2\)
🔄 Explicație intuitivă
Diagonala \(BD\) împarte paralelogramul în 2 triunghiuri congruente, fiecare cu aria \(48\text{ cm}^2\).
Triunghiul \(ABD\) are aria \(48\text{ cm}^2\). Mijlocul \(F\) al laturii \(AD\) împarte \(\triangle ABD\) în 2 triunghiuri congruente (prin \(BF\)), deci \(\triangle ABF\) are aria \(24\text{ cm}^2\).
Mijlocul \(E\) al laturii \(AB\) împarte \(\triangle ABF\) în 2 triunghiuri congruente, deci \(\triangle AEF\) are aria \(12\text{ cm}^2\). ✅