G1.5 — Cerc cu Diametre și Unghi Inscris
În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul \(O\), iar \(AB\) și \(CD\) sunt diametre. Arcul \(AD\) are măsura egală cu \(52^\circ\).
Măsura unghiului \(BDC\) este egală cu:
a) \(26^\circ\) b) \(30^\circ\) c) \(52^\circ\) d) \(60^\circ\)
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute și teoreme folosite
\(\overset{\frown}{AD} = 52^\circ\) (dat)
\(AB\) și \(CD\) sunt diametre → fiecare subtinde un semicerc de \(180^\circ\)
Teorema unghiului inscris: un unghi inscris în cerc este egal cu jumătate din arcul pe care îl subtinde.
Determinarea \(\overset{\frown}{BC}\)
Deoarece \(AB\) este diametru, \(\overset{\frown}{AB} = 180^\circ\).
\(\overset{\frown}{AD}\) și \(\overset{\frown}{DB}\) alcătuiesc împreună semicercul \(ADB\):
\(\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{DB} = 180^\circ \Rightarrow \overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\)
Deoarece \(CD\) este diametru, \(\overset{\frown}{CBD} = 180^\circ\) (semicercul care conține \(B\)).
\(\overset{\frown}{CB} + \overset{\frown}{BD} = 180^\circ \Rightarrow \overset{\frown}{CB} = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ\)
Unghiul \(\measuredangle BDC\) este inscris în cerc și subtinde \(\overset{\frown}{BC}\) (arcul care nu conține pe \(D\)).
Prin teorema unghiului inscris:
\(\measuredangle BDC = \dfrac{\overset{\frown}{BC}}{2} = \dfrac{52^\circ}{2} = 26^\circ\)