G3.3 — Triunghi Dreptunghic cu Bisectoare
În figura alăturată, triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\) și \(m(\measuredangle ACB) = 60^\circ\). \(CM\) este bisectoarea unghiului \(\measuredangle ACB\), cu \(M\) pe latura \(AB\) și \(CM = 8\text{ cm}\). Lungimea segmentului \(AB\) este egală cu:
a) \(4\text{ cm}\) b) \(4\sqrt{3}\text{ cm}\) c) \(12\text{ cm}\) d) \(8\sqrt{3}\text{ cm}\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă \(CM\) este bisectoarea unghiului \(\measuredangle ACB = 60^\circ\), atunci \(m(\measuredangle ACM) = m(\measuredangle MCB) = 30^\circ\).
Dacă \(\measuredangle CAM = 90^\circ\) și \(\measuredangle ACM = 30^\circ\), atunci \(\measuredangle AMC = 60^\circ\) și cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuza:
\[ AM = \frac{CM}{2} \]
Dacă în triunghiul \(ABC\) avem \(\measuredangle A = 90^\circ\) și \(\measuredangle ACB = 60^\circ\), atunci \(AB = AC \cdot \sqrt{3}\) (cateta opusă unghiului de \(60^\circ\) este \(\sqrt{3}\) ori cateta opusă unghiului de \(30^\circ\)).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(\measuredangle A = 90^\circ\), \(m(\measuredangle ACB) = 60^\circ\), \(CM\) bisectoarea \(\measuredangle ACB\), \(CM = 8\text{ cm}\)
Determinarea lungimii AB
\(CM\) bisectează \(\measuredangle ACB = 60^\circ\), deci:
\(m(\measuredangle ACM) = m(\measuredangle MCB) = 30^\circ\)
Triunghiul \(ACM\) are \(\measuredangle CAM = 90^\circ\), \(\measuredangle ACM = 30^\circ\) → \(\measuredangle AMC = 60^\circ\).
Este un triunghi 30°–60°–90° cu ipotenuza \(CM = 8\text{ cm}\).
Cateta opusă lui \(30^\circ\) este \(AM = \dfrac{CM}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{ cm}\).
Cateta opusă lui \(60^\circ\) este \(AC = CM \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}\).
Triunghiul \(ABC\) are \(\measuredangle A = 90^\circ\) și \(\measuredangle ACB = 60^\circ\) → este tot un triunghi 30°–60°–90°.
\(AB = AC \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm}\)