G3.4 — Patrulater cu Triunghiuri Dreptunghice Isoscele
În figura alăturată, \(ABCD\) este un patrulater în care \(\measuredangle ABC = \measuredangle BCD = 90^\circ\), \(AC = BC\) și \(AD = DC\). Dacă aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(288\text{ cm}^2\), atunci aria triunghiului \(ADC\) este egală cu:
a) \(72\text{ cm}^2\) b) \(144\text{ cm}^2\) c) \(216\text{ cm}^2\) d) \(288\text{ cm}^2\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă triunghiul \(ABC\) este dreptunghic isoscel cu \(\measuredangle ABC = 90^\circ\) și \(AC = BC\) (catetele egale), atunci:
\[ \mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AC^2}{2} \]
Dacă triunghiul \(ADC\) este dreptunghic isoscel cu \(\measuredangle ADC = 90^\circ\) și \(AD = DC\), atunci \(AC\) este ipotenuza și:
\[ AC^2 = AD^2 + DC^2 = 2 \cdot AD^2 \quad \Rightarrow \quad AD^2 = \frac{AC^2}{2} \]
Aplicând formula din noțiunea 1 pentru triunghiul \(ADC\):
\[ \mathcal{A}_{\triangle ADC} = \frac{AD^2}{2} = \frac{AC^2}{4} = \frac{\mathcal{A}_{\triangle ABC}}{2} \]
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(\measuredangle ABC = 90^\circ\), \(AC = BC\); \(\measuredangle ADC = 90^\circ\), \(AD = DC\); \(\mathcal{A}_{\triangle ABC} = 288\text{ cm}^2\)
Determinarea ariei triunghiului ADC
\(\triangle ABC\) este dreptunghic isoscel cu \(\measuredangle ABC = 90^\circ\) și catetele \(AC = BC\):
\(\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AC^2}{2} = 288 \Rightarrow AC^2 = 576\text{ cm}^2\)
\(\triangle ADC\) este dreptunghic isoscel cu \(\measuredangle ADC = 90^\circ\) și \(AD = DC\). Prin teorema lui Pitagora:
\(AC^2 = AD^2 + DC^2 = 2 \cdot AD^2\)
\(AD^2 = \dfrac{AC^2}{2} = \dfrac{576}{2} = 288\text{ cm}^2\)
\(\mathcal{A}_{\triangle ADC} = \dfrac{AD^2}{2} = \dfrac{288}{2} = 144\text{ cm}^2\)