G3.5 — Cerc cu Diametru și Coardă Paralelă
În figura alăturată, \(O\) este centrul cercului, \(AB\) este diametru și \(CD\) este o coardă cu \(CD \parallel AB\). Dacă \(m(\overset{\frown}{BD}) = 40^\circ\), atunci \(m(\measuredangle COD)\) este egală cu:
a) \(40^\circ\) b) \(60^\circ\) c) \(80^\circ\) d) \(100^\circ\)
📚 Noțiuni teoretice utilizate
Dacă \(O\) este centrul cercului și \(AB\) este diametru, atunci \(AB\) împarte cercul în două semicercuri egale, fiecare cu măsura \(180^\circ\):
\[ m(\overset{\frown}{ACB}) = m(\overset{\frown}{ADB}) = 180^\circ \]
Dacă \(AB \parallel CD\), atunci arcele cuprinse între cele două coarde sunt egale:
\[ m(\overset{\frown}{AC}) = m(\overset{\frown}{BD}) \]
Dacă \(O\) este centrul cercului, atunci \(m(\measuredangle COD) = m(\overset{\frown}{CD})\).
✏️ Rezolvare pas cu pas
Date cunoscute
\(O\) centrul cercului; \(AB\) diametru; \(CD \parallel AB\); \(m(\overset{\frown}{BD}) = 40^\circ\)
Determinarea măsurii unghiului COD
Deoarece \(AB \parallel CD\), arcele cuprinse între coarde sunt egale:
\(m(\overset{\frown}{AC}) = m(\overset{\frown}{BD}) = 40^\circ\)
Semicercul \(ADB\) (deasupra diametrului) are măsura \(180^\circ\):
\(m(\overset{\frown}{AC}) + m(\overset{\frown}{CD}) + m(\overset{\frown}{DB}) = 180^\circ\)
\(40^\circ + m(\overset{\frown}{CD}) + 40^\circ = 180^\circ\)
\(m(\overset{\frown}{CD}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\)
Unghiul central \(\measuredangle COD\) este egal cu arcul corespunzător \(\overset{\frown}{CD}\):
\(m(\measuredangle COD) = m(\overset{\frown}{CD}) = 100^\circ\)