Noțiunile de limită și continuitate își au originea în Antichitate și sunt datorate contribuției multor minți strălucite ale unor matematicieni și filozofi, printre care Aristotel și Arhimede. Procedeul modern de trecere la limită s-a cristalizat abia în secolul al XIX-lea prin contribuția unor mari matematicieni: B. Riemann, G. Cantor, A. Cauchy, N. Abel etc. Vom prezenta câteva noțiuni de topologie a dreptei reale, strict necesare în cele ce urmează.
1) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a punctului \(x_0 \in \mathbb{R}\), dacă există un interval deschis \(I\) astfel încât \(x_0 \in I \subset V\).
2) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a lui \(+\infty\) dacă există un interval deschis de forma \(I = (a, +\infty)\) astfel încât \(I \subset V\).
3) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a lui \(-\infty\), dacă există un interval deschis de forma \(I = (-\infty, a)\) astfel încât \(I \subset V\).
- Un punct \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\) are oricât de multe vecinătăți. Vom nota mulțimea vecinătăților lui \(x_0\) cu \(\mathcal{V}(x_0)\).
- Orice interval deschis \((a,b)\), \(a, b \in \overline{\mathbb{R}}\), \(a < b\), este vecinătate pentru oricare \(x_0 \in (a,b)\).
- Intervalele centrate în \(x_0 \in \mathbb{R}\) sunt vecinătăți pentru \(x_0\). Ele se numesc vecinătăți centrate ale punctului \(x_0\).
- Fiecărei vecinătăți \(V \in \mathcal{V}(x_0)\) îi corespunde o vecinătate centrată în \(x_0\), \(V_\varepsilon = (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) astfel încât \(V_\varepsilon \subset V\). De aceea, atunci când se lucrează cu vecinătățile lui \(x_0\) este suficient să se considere numai vecinătăți centrate.
Intersecția unui număr finit de vecinătăți ale lui \(x_0 \in \mathbb{R}\) este vecinătate a lui \(x_0\), dar intersecția unui număr infinit de vecinătăți ale lui \(x_0\) poate să nu mai fie vecinătate a lui \(x_0\).
1. Fie \(V_n = \!\left[-1 - \tfrac{1}{n},\; 1 + \tfrac{1}{n}\right] \in \mathcal{V}(0)\), \(n \geq 1\). Avem \(\displaystyle\bigcup_{n \geq 1} V_n = [-1, 1]\), care este vecinătate pentru \(x = 0\).
2. Fie \(V_n = \!\left(-\tfrac{1}{n},\; \tfrac{1}{n}\right) \in \mathcal{V}(0)\), \(n \geq 1\). Rezultă că \(\displaystyle\bigcap_{n \geq 1} V_n = \{0\}\), care nu este vecinătate pentru \(0\).
Fie \(x, y \in \mathbb{R}\) puncte diferite de pe dreapta reală. Atunci există vecinătățile \(V \in \mathcal{V}(x)\) și \(U \in \mathcal{V}(y)\), astfel încât \(V \cap U = \emptyset\).
Fie \(A \subset \mathbb{R}\) o mulțime nevidă.
1) Numărul \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\) se numește punct de acumulare al mulțimii \(A\), dacă pentru orice vecinătate a sa \(V \in \mathcal{V}(x_0)\), rezultă că \(A \cap (V \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset\).
2) Un punct \(x_0 \in A\) se numește punct izolat al mulțimii \(A\) dacă nu este punct de acumulare al mulțimii \(A\).
Mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii \(A\) se notează \(A'\). O mulțime poate să aibă mai multe puncte de acumulare sau nici unul.
- Fie \(A \subset \mathbb{R}\) o mulțime nevidă; \(x \in \mathbb{R}\) se numește punct izolat al mulțimii \(A\) dacă \(x \in A \setminus A'\).
- \(x \in A \subset \mathbb{R}\) este punct izolat al mulțimii \(A\) dacă \((\exists)\, V \in \mathcal{V}(x)\) astfel încât \(V \cap (A \setminus \{x\}) = \emptyset\).
- Fie \(A = (0, 1)\). Atunci \(A' = [0, 1]\).
- Dacă \(A = \{1\}\), atunci \(A' = \emptyset\).
- Orice mulțime finită și nevidă \(A \subset \mathbb{R}\) nu are puncte de acumulare (\(A' = \emptyset\)). Deci orice element \(x \in A\) este punct izolat al mulțimii \(A\).
- Pentru \(A = \mathbb{Q}\) avem \(A' = \overline{\mathbb{R}}\), deoarece în orice vecinătate \(V \in \mathcal{V}(x_0)\), \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\), se găsesc o infinitate de numere raționale.
- Dacă \(A = (a, b)\), unde \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\), atunci \(A' = [a, b]\).
- Dacă \(A = (2, 3) \cup \{4\}\), atunci \(A' = [2, 3]\).
- În \(\overline{\mathbb{R}}\) au loc afirmațiile: \(\mathbb{N}' = \{+\infty\}\), \(\mathbb{Z}' = \{-\infty, +\infty\}\), \(\mathbb{Q}' = \overline{\mathbb{R}}\), \((\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})' = \overline{\mathbb{R}}\).
\((\forall)\, n \in \mathbb{N}\), \(n\) este punct izolat al mulțimii \(\mathbb{N}\) deoarece \((\exists)\, V = \!\left(n - \tfrac{1}{2},\; n + \tfrac{1}{2}\right) \in \mathcal{V}(n)\) astfel încât \(V \cap (\mathbb{N} \setminus \{n\}) = \emptyset\). De asemenea, orice vecinătate a lui \(+\infty\) conține cel puțin un număr natural.
Bibliografie
- Burtea, M., & Burtea, G. (2006). Matematică: Manual pentru clasa a XI-a: Trunchi comun + curriculum diferențiat: M1. Editura Carminis.
- Chițeș, C., & Petriceanu, D. (2002). Matematică: Manual pentru clasa a X-a. Editura Sigma.